Additive functionals of Markov processes and stochastic systems

Dynkin, Evgeny B.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 25 (1975) no. 3-4, pp. 177-200.

Intuitivement, une fonctionnelle additive d’un processus stochastique $(x_t,P)$, est une méthode de mesure du temps qui dépend du cours du processus. En associant à chaque ensemble des états le temps moyen que le processus passe dans cet ensemble, nous définissons la mesure spectrale de la fonctionnelle. De cette manière, on établit une correspondance biunivoque entre toutes les fonctionnelles additives normales d’un processus de Markov et toutes les mesures $\delta$-finies dans l’espace des états qui sont égales à zéro sur les ensembles non-accessibles. On montre cela sous la condition que les probabilités de transition $P_{t,x}$ sont continues à droite et les probabilités de transition inverses $P^{t,x}$ sont continues à gauche sur presque toutes les trajectoires. Selon des résultats précédents de l’auteur, si les distributions deux-dimensionnelles d’un processus de Markov sont absolument continues par rapport aux produits des distributions un-dimensionnelles correspondantes, on peut modifier le processus de telle manière que l’ensemble des fonctionnelles additives reste le même et les probabilités $P_{P,t}$ et $P^{t,x}$ acquièrent les propriétés indiquées.

Intuitively, an additive functional of a stochastic process $(x_t,P)$ gives a method to measure time taking into account the development of the process. We associate with any set of states $C$ the mathematical expectation of time $x_t$ belongs to $C$. In this way, we establish to one-to-one correspondence between all the normal additive functionals of a Markov process and all the $\delta$-finite measures on the state space which charge no inaccessible set. This is proved under the condition that transition probabilities are almost all paths. According to the previous results of the author, if two-dimensional probability distributions of a Markov process are absolutely continuous with respect to products of corresponding one-dimensional distributions, then the process can be modified in such a way that the set of additive functionals does not change and transition and cotransition probabilities acquire the above-mentioned properties.

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