We shall introduce the functional spaces where the potential operator satisfies the semi-complete maximum principle if and only if the module contraction operates. Such a functional space on the Martin boundary of a symmetric Brelot’s harmonic space in investigated with the help of Naim’s -kernel. This is isomorphic to the Dirichlet space of harmonic functions. The potential operator of this functional space gives the solution of Neumann problem. We shall introduce the Dirichlet space of functions that are harmonic out of a compact set , and shall show the following minimum principle: a superharmonic function out whose harmonic part has a finite Dirichlet integral is positive if on and if its normal derivative at the boundary is positive (in the sense which we will precise later). We construct the kernel-function of Neumann whose potential operator is written by the form , where is the Green operator. is compact and satisfies the semi-complete maximum principle, which we can see from the above-cited minimum principle. By using the index theorem we give the markovian resolvent of .
On introduit les espaces fonctionnels dans lesquels l’opérateur potentiel satisfait au principe semi-complet du maximum si et seulement si la contraction module opère. Un tel espace fonctionnel sur la frontière de Martin d’un espace harmonique symétrique de Brelot est envisagé à l’aide du noyau de Naïm. Il est isomorphe à l’espace de Dirichlet des fonctions harmoniques. L’opérateur potentiel de cet espace donne la solution du problème de Neumann. On introduit l’espace de Dirichlet des fonctions harmoniques hors d’un compact , et montre le principe du minimum : une fonction surharmonique hors de dont la partie harmonique a l’intégrale de Dirichlet finie est positive si sur et si sa dérivée normale à la frontière est positive (au sens que nous préciserons). Nous construisons le noyau-fonction de Neumann dont l’opérateur potentiel s’écrit avec l’opérateur potentiel de Green. est compact et d’après le principe du minimum ci-dessus satisfait au principe semi-complet du maximum. La résolvante markovienne de sera donnée en utilisant le théorème de l’indice.
@article{AIF_1977__27_4_45_0, author = {Kori, Tosiaki}, title = {La th\'eorie des espaces fonctionnels \`a nullit\'e 1 et le probl\`eme de {Neumann} sur les espaces harmoniques}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {45--119}, publisher = {Imprimerie Durand}, address = {Chartres}, volume = {27}, number = {4}, year = {1977}, doi = {10.5802/aif.672}, mrnumber = {58 #22623}, zbl = {0357.31008}, language = {fr}, url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.672/} }
TY - JOUR AU - Kori, Tosiaki TI - La théorie des espaces fonctionnels à nullité 1 et le problème de Neumann sur les espaces harmoniques JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 1977 SP - 45 EP - 119 VL - 27 IS - 4 PB - Imprimerie Durand PP - Chartres UR - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.672/ DO - 10.5802/aif.672 LA - fr ID - AIF_1977__27_4_45_0 ER -
%0 Journal Article %A Kori, Tosiaki %T La théorie des espaces fonctionnels à nullité 1 et le problème de Neumann sur les espaces harmoniques %J Annales de l'Institut Fourier %D 1977 %P 45-119 %V 27 %N 4 %I Imprimerie Durand %C Chartres %U http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.672/ %R 10.5802/aif.672 %G fr %F AIF_1977__27_4_45_0
Kori, Tosiaki. La théorie des espaces fonctionnels à nullité 1 et le problème de Neumann sur les espaces harmoniques. Annales de l'Institut Fourier, Volume 27 (1977) no. 4, pp. 45-119. doi : 10.5802/aif.672. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.672/
[1] Theory of reproducing kernels, Trans. A.M.S., 68 (1950), 337-404. | MR | Zbl
,[2] Lectures on Potential Theory, Tata Institute, Bombay (1960). | MR | Zbl
,[3] Dirichlet spaces, Proc. Nat. Acad. Sci., (1959), 208-215. | MR | Zbl
and ,[4] Principe complet du maximum et contractions, Ann. Inst. Fourier, 15 (1965), 259-272. | Numdam | MR | Zbl
,[5] Boundary properties of functions with finite Dirichlet integrals, Ann. Inst. Fourier, 12 (1962), 573-621. | Numdam | MR | Zbl
,[6] Extreme harmonic functions and boundary value problems, Ann. Inst. Fourier, 13, 2 (1963), 307-356. | Numdam | MR | Zbl
,[7] Sheaf cohomology theory on harmonic spaces, J. Math. Kyoto Univ., 14, 3 (1974), 555-595. | MR | Zbl
,[8] Problème de Neumann sur les espaces harmoniques, Math. Ann., 224 (1976), 53-76. | MR | Zbl
,[9] Axiomatic theory of non-negative full-superharmonic functions, J. Math. Soc. Japan, 23 (1971), 481-526. | MR | Zbl
,[10] Brelot's axiomatic theory of Dirichlet problem and Hunt's theory, Ann. Inst. Fourier, 13, 2 (1963), 357-372. | Numdam | MR | Zbl
,[11] Probabilités et Potentiel, Hermann, Paris (1966). | MR | Zbl
,[12] Sur le rôle de la frontière de R. S. Martin dans la théorie du potentiel, Ann. Inst. Fourier, 7 (1957), 183-281. | Numdam | MR | Zbl
,[13] Flux in axiomatic potential theory I : Cohomologie, Inventiones Math., 8 (1969), 175-221. | MR | Zbl
,Cited by Sources: