Let be a -space, and let be an infinite dimensional reflexive subspace of . We show that the quotient satisfies Grothendieck’s theorem, i.e. that every operator from into a Hilbert space is 1-absolutely summing; besides, is not a -space. This provides a negative answer to a question of Lindenstrauss-Pełczyński and to a similar question of Grothendieck.
Soit un espace et soit un sous-espace réflexif de dimension infinie de . Nous montrons que le quotient vérifie le théorème de Grothendieck, c’est-à-dire que tout opérateur de dans un espace de Hilbert est 1-sommant; par ailleurs, n’est pas un espace . Cela permet de répondre négativement à une question de Lindenstrauss-Pełczyński ainsi qu’à une question similaire de Grothendieck.
@article{AIF_1978__28_1_69_0, author = {Pisier, Gilles}, title = {Une nouvelle classe d'espaces de {Banach} v\'erifiant le th\'eor\`eme de {Grothendieck}}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {69--90}, publisher = {Institut Fourier}, address = {Grenoble}, volume = {28}, number = {1}, year = {1978}, doi = {10.5802/aif.681}, mrnumber = {58 #7041}, zbl = {0363.46019}, language = {fr}, url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.681/} }
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Pisier, Gilles. Une nouvelle classe d'espaces de Banach vérifiant le théorème de Grothendieck. Annales de l'Institut Fourier, Volume 28 (1978) no. 1, pp. 69-90. doi : 10.5802/aif.681. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.681/
[1] Some results on convex bodies and Banach spaces, Proc. Symp. on Linear Spaces, Jerusalem 1961. | MR | Zbl
,[2] Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces, Proc. Nat. Acad. Sci. (U.S.A.), 36 (1950), 192-197. | MR | Zbl
et ,[3] Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques, Bol. Soc. Matem., Sao Paulo, 8 (1956), 1-79. | MR | Zbl
,[4] Bases, lacunary sequences and complemented subspaces in the spaces Lρ, Studia Math., 21 (1962), 161-176. | MR | Zbl
et ,[5] Théorèmes de factorisation dans les espaces réticulés, Séminaire Maurey-Schwartz 73-74, Exposé 22-23. | Numdam | Zbl
,[6] The geometric theory of the classical Banach spaces, Actes Congrès intern. Math., Nice (1970), Gauthiers-Villars, Paris, tome 2 p. 365-372. | MR | Zbl
,[7] Absolutely summing operators in Lρ spaces and their applications, Studia Math., 29 (1968), 275-326. | MR | Zbl
et ,[8] Automorphisms in cϑ, l1 and m, Israel J. Math., 7 (1969), 227-239. | MR | Zbl
et ,[9] The Lρ spaces, Israel J. Math., 7 (1969) 325-349. | MR | Zbl
et ,[10] Banach spaces with sufficiently many Boolean algebras of projections, Journal Math. Anal. and Appl., 25 (1969), 309-320. | MR | Zbl
et ,[11] Sur une classe d'espaces d'interpolation, Publ. Math. I.H.E.S., 19 (1963), 5-68. | Numdam | MR | Zbl
et ,[12] Une nouvelle démonstration d'un théorème de Grothendieck, Séminaire Maurey-Schwartz 73-74, exposé 22. | Numdam | Zbl
,[13] Théorèmes de factorisation pour les opérateurs à valeurs dans un espace Lρ, Astérisque, Soc. Math. France, (1974) n° 11. | Numdam | MR | Zbl
,[14] Séries de variables aléatoires vectorielles indépendantes et propriétés géométriques des espaces de Banach, Studia Math., 58 (1976), 45-90. | MR | Zbl
et ,[15] p-integral operators commuting with group representations and examples of quasi p-integral operators which are not p-integral, Studia Math., 33 (1969), 63-70. | MR | Zbl
,[16] Absolute p-summierende Abbildungen in normierten raümen, Studia Math., 28 (1967), 333-353. | MR | Zbl
,[17] On injective Banach spaces and the spaces L∞(µ) for finite measures µ, Acta Math., 124 (1970), 205-248. | MR | Zbl
,[18] On subspaces of Lp, Annals of Math., 97 (1973), 344-373. | MR | Zbl
,[19] Trigonometric series with gaps, Journal Math. Mech., 9 (1960), 203-227. | MR | Zbl
,[20] Banach algebras and absolutely summing operators, Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., 80 (1976), 465-473. | MR | Zbl
,[21] A theorem on operator algebras, Math. Scand., 37, (1975), 173-182. | MR | Zbl
,Cited by Sources: