Capacités invariantes extrémales

Talagrand, Michel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 28 (1978) no. 4, pp. 79-146.

On étudie certains cônes de mesures $\ge 0$ sur un espace localement compact, qui sont invariantes par l’action continue d’un groupe localement compact $G$, cette étude étant centrée sur les génératrices extrémales de ces cônes. On dégage d’abord un type très simple d’action continue où l’on décrit complètement la situation. On dégage ensuite une classe d’actions (contenant par exemple l’action de shift de Bernoulli sur $\{0,1{\}}^{\mathbf{N}}$) qui ne sont pas du type précédent, et que l’on étudie en grand détail. Le résultat le plus frappant est que lorsque $G$ est moyennable, l’ensemble des génératrices extrémales du cône est dense. On étudie enfin diverses méthodes de construction des génératrices extrémales, et des méthodes de représentation à l’aide de moyennes de Banach.

We study a class of invariant measures on a locally compact space, which are invariant under a continuous operation of a locally compact group $G$. We pay most of our attention to the set of extreme rays. We define a very simple class of continuous operations for which we are able to give a complete description of the cone. Then we describe a class of operations (which contains the Bernoulli shift on $\{0,1{\}}^{\mathbf{N}}$) which are not of the preceding type, and which we study in great detail. The most striking result is that when $G$ is amenable, the set of extreme rays is dense. The paper ends with a study of various ways of constructing extremal rays, and representing them using Banach means.

[1]J. Chatard, Application des propriétés de moyenne d'un groupe localement compact à la théorie ergodique, Ann. Inst. Henri Poincaré, Vol. VI, n° 4 (1970), 307-326. | Numdam | Zbl

[2]G. Choquet, Lectures on Analysis, W. A. Benjamin, Inc. New York, 1969. | Zbl

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[7]F. P. Greenleaf, Invariant Means on Topological groups, Von Nostrand, Math. Studies, 16 (1969). | MR | Zbl

[8]P. R. Halmos, In general a measure preserving transformation is mixing, Annals of Math., (1944), 786. | MR | Zbl

[9]K. Jacobs, Lectures notes on Ergodic Theory, Aarhus Universitet, 1962. | Zbl

[10]J. Lindenstrauss, G. Olsen and Y. Sternfeld, The Poulsen Simplex, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 28, 1 (1978), 91-114. | Numdam | MR | Zbl

[11]Roklin, In general a measure-preserving transformation is not mixing, Doklady, (1948), 349.

[12]M. Talagrand. Capacités invariantes, C.R.A.S.. t. 284, p. 481-484. | MR | Zbl

[13]M. Talagrand, Capacités invariantes : le cas alterné d'ordre infini, C.R.A.S., t. 284, p. 543-546. | MR | Zbl

[14]M. Talagrand, Quelques exemples de représentation intégrale: Valuations, fonctions alternées d'ordre infini. Bull. Sc. math., 2e série, 100 (1976), 321-329. | Zbl

[15]M. Talagrand, Moyennes de Banach extrémales, CRAS, t. 282, p. 1359-1362. | MR | Zbl