Unités cyclotomiques, unités semi-locales et ${\mathbb{Z}}_{\ell }$-extensions

Gillard, Roland

Annales de l'Institut Fourier, Tome 29 (1979) no. 1, pp. 49-79.

Soient $K$ un corps abélien réel, $\ell$ un nombre premier, premier au degré de $K/\mathbf{Q}$. Cet article utilise une conjecture de J. Coates et S. Lichtenbaum (ou une conjecture analogue pour $\ell =2$, qu’il énonce et discute) pour étudier, pour chaque étage de la ${\mathbf{Z}}_{\ell }$-extension de $K$, la décomposition de la $\ell$-partie de la formule analytique du nombre de classes suivant l’action du groupe de Galois de $K/\mathbf{Q}$. Pour cela, est établie une formule sur la $\Phi$-composante ($\Phi$-caractère $\ell$-adique irréductible) du quotient du groupe des unités semi-locales par un sous-groupe déduit de celui des unités cyclotomiques.

Let $K$ be a real abelian number field, $\ell$ a prime number which does not divide $[K:\mathbf{Q}]$ and $K_{\infty }$ the ${\mathbf{Z}}_{\ell }$-extension of $K$. This paper uses a conjecture of J. Coates and S. Lichtenbaum (or for $\ell =2$ an analogous conjecture which is stated and discussed) to study the decomposition, with respect to the action of the Galois group of $K/\mathbf{Q}$, of the $\ell$-part of the analytical formula for the class number of any layer of $K_{\infty }/K$. For this purpose, let $\Phi$ be a $\ell$-adic irreducible character, then we prove a formula about the $\Phi$-part of the quotient of the group of semi-local units be a subgroup deduced from the group of cyclotomic units.

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