Sur les unités d’une extension galoisienne non abélienne de degré pq du corps des rationnels p et q nombres premiers impairs
Annales de l'Institut Fourier, Tome 29 (1979) no. 1, pp. 137-158.

Soit K/Q une extension galoisienne non abélienne, de degré pq, de groupe G. On étudie dans cet article la structure du groupe des unités U K de K, en tant que module sur l’algèbre Z[G]. Cela permet de donner quelques propriétés arithmétiques de K, comme la détermination des images de U K par les applications normes sur les sous-corps de K, la participation de p au nombre de classes de K, et des conditions nécessaires d’existence d’une unité de Minkowski dans K.

Let K/Q be a Galois non abelian extension of degree pq, of group G. In this paper, we study the structure, as module over the group ring Z[G], of the group of units U K of K. It enables us to give some arithmetical properties of K, as the determination of the image of U K by norm mappings on subfields of K, the divisibility of the ideal class number of K by a power of p, and necessary conditions for K to have a Minkowski unit.

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[1] R. Brauer, Beziehungen zwischen Klassenzahlen von Teilkörpern eines galoischen Körpers, Math. Nachr., 4 (1951), 158-174. | MR | Zbl

[2] J. Cassels et A. Fröhlich, Algebraic Number Theory. Academic Press, New-York, 1967. | Zbl

[3] J. Cougnard, Sur les extensions galoisiennes non abéliennes de degré pq du corps des rationnels (p et q premiers), thèse de 3e cycle, Bordeaux, 1972. | Zbl

[4] S. Galovitch, I. Reiner et S. Ullom, Class groups for integral representations of metacyclic groups, Mathematika, 19 (1972), 105-111. | MR | Zbl

[5] M.N. Gras, N. Moser et J.J. Payan, Approximation algorithmique du groupe des classes de certains corps cubiques cycliques, Acta Arithmetica, 23 (1973), 295-300. | MR | Zbl

[6] F. Halter-Koch et N. Moser, Sur le nombre de classes de certaines extensions métacycliques sur Q ou sur un corps quadratique imaginaire, J. Math. Soc. Japan, 30 (1978), 237-248. | MR | Zbl

[7] K. Iwasawa, A note on the group of units of an algebraic number field, J. Math. pures et appliquées, 35 (1956), 189-192. | MR | Zbl

[8] H. Kisilevsky, Some results related to Hilbert's theorem 94, J. Number Theory, 2 (1970), 198-206. | MR | Zbl

[9] S.N. Kuroda, Über die Klassenzahl eines relativ zyklischen Zahlkörpers von Primzahlgrade, Proc. Japan Academy, 40 (1964), 623-626. | MR | Zbl

[10] Lena Chang Pu, Integral representations of non abelian groups of order pq, Mich. Math. J., 12 (1965), 231-246. | MR | Zbl

[10bis] J. Martinet, Tours de corps de classes et estimations de discriminants, Inventiones math., 44 (1978), 65-73. | MR | Zbl

[11] N. Moser, Unités et nombre de classes d'une extension galoisienne dièdrale de Q, Abh. Math. Sem. Hamburg (à paraître). | Zbl

[12] J.J. Payan, Sur le théorème des indices de Brauer-Walter. Application à l'existence d'unités de Minkowski, Sém. Th. Nb., Grenoble, 1975-1977.

[13] J. Porusch, Die Arithmetik in Zahlkörpern, deren zugehörige Galoische Körper spezielle metabelsche gruppen besitzen, auf klassenkörpertheoretischer Grundläge, Math. Z., 37 (1933), 134-160. | JFM | Zbl

[14] I. Reiner et C. Curtis, Representation theory of finite groups and associative algebras, Interscience New-York, 1962. | MR | Zbl

[15] M. Rosen, Representations of twisted group rings, Ph. D. Thesis, Princeton, 1963.

[16] Représentations entières de certains groupes finis, Sém. Th. Nb., Grenoble, 1973-1974.

[17] C.D. Walter, Brauer class number relation. (à paraître dans Acta Arithmetica). | Zbl

[18] C.D. Walter, A class number relation in Frobenius extensions of number fields, Mathematika, 24 (1977), 216-225. | MR | Zbl

[19] H. Yokoi, On the class number of a relatively cyclic number field, Nagoya Math. J., 29 (1967), 31-44. | MR | Zbl

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