Stabilité simultanée de deux fonctions différentiables

Dufour, Jean-Paul

Annales de l'Institut Fourier, Tome 29 (1979) no. 1, pp. 263-282.

Nous caractérisons les couples de fonctions différentiables $(f,g)$, définies sur une variété compacte $V$ de dimension $\ge 2$, qui sont simultanément stables en ce sens que, pour tout couple $(f^{\prime },g^{\prime })$ assez voisin, il existe un difféomorphisme $h$ de $V$ et deux difféomorphismes $\lambda$ et $\mu$ de $\mathbf{R}$ tels que $h$ et $\lambda$ échangent $f$ et $f^{\prime }$ alors que $h$ et $\mu$ échangent $g$ et $g^{\prime }$. L’outil essentiel est une technique de résolution des équations du type $\eta \left(x\right)=X=(x^2+x^3)+(1+x)Y\left(x_2\right)$ où les inconnues $X$ et $Y$ sont des fonctions de classe $C^{\infty }$.

We characterize the couples of differentiable functions $(f,g)$, $f,g:M\to \mathbf{R}$ where $M$ is a compact manifold of dimension $\ge 2$, which are simultaneously stables i.e.: for each $(f^{\prime },g^{\prime })$, near enough from $(f,g)$, exist a diffeomorphism $h$ of $V$ and two diffeomorphisms $\lambda$ and $\mu$ of $R$ such that $h$ and $\lambda$ exchange $f$ and $f^{\prime }$ whereas $h$ and $\mu$ exchange $g$ and $g^{\prime }$. The essential tool is a study of equations such that $\eta \left(x\right)=X=(x^2+x^3)+(1+x)Y\left(x_2\right)$ where the unknowns $X$ and $Y$ are $C^{\infty }$ functions.

[1] J.P. Dufour, Sur la stabilité des diagrammes d'applications différentiables, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., 4e Série, t. 10 (1977), 153-174. | Numdam | Zbl

[2] J.P. Dufour, Bi-stabilité des fronces, C.R. Acad. Sc., Paris, t. 285 (Sept. 1977). | MR | Zbl

[3] S. Ferry, Codimension one Morse Theories, thesis, University of Michigan, 1973.

[4] M. Golubitsky, V. Guillemin, Stable Mappings and Their Singularities, Graduate Texts in Mathematics, Springer Verlag, 1973. | MR | Zbl

[5] Y.H. Wan, Morse Theory for Two functions, Topology, Vol. 14, n° 3, 218-228. | MR | Zbl