On certain barrelled normed spaces

Valdivia, Manuel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 29 (1979) no. 3, pp. 39-56.

Soit $𝒜$ une $\sigma$-algèbre dans un ensemble $X$. Si $A$ appartient à $𝒜$, soit $e\left(A\right)$ la fonction caractéristique de $A$. Soit ${\ell }_0^{\infty }(X,𝒜$ l’espace vectoriel engendré par $\left\{e\right(A):A\in 𝒜\}$ avec la topologie de la convergence uniforme. On montre que si $\left(E_n\right)$ est une suite croissante des sous-espaces de ${\ell }_0^{\infty }(X,𝒜)$ dont l’union est ${\ell }_0^{\infty }(X,𝒜)$ il existe un entier positif $p$, telle que $E_p$ est un sous-espace dense et tonnelé de ${\ell }_0^{\infty }(X,𝒜)$. Quelques nouveaux résultats dans la théorie de la mesure sont déduits de ce fait.

Let $𝒜$ be a $\sigma$-algebra on a set $X$. If $A$ belongs to $𝒜$ let $e\left(A\right)$ be the characteristic function of $A$. Let ${\ell }_0^{\infty }(X,𝒜$ be the linear space generated by $\left\{e\right(A):A\in 𝒜\}$ endowed with the topology of the uniform convergence. It is proved in this paper that if $\left(E_n\right)$ is an increasing sequence of subspaces of ${\ell }_0^{\infty }(X,𝒜)$ covering it, there is a positive integer $p$ such that $E_p$ is a dense barrelled subspace of ${\ell }_0^{\infty }(X,𝒜)$, and some new results in measure theory are deduced from this fact.

[1] G. Bennett and N.J. Kalton, Addendum to “FK-spaces containing c0”, Duke Math. J., 39, (1972), 819-821. | MR | Zbl

[2] R.B. Darst, On a theorem of Nikodym with applications to weak convergence and von Neumann algebra, Pacific Jour. of Math., V. 23, No 3, (1967), 473-477. | MR | Zbl

[3] A. Grothendieck, Espaces vectoriels topologiques, Departamento de Matemática da Universidade de Sao Paulo, Brasil, 1954. | MR | Zbl

[4] I. Labuda, Exhaustive measures in arbitrary topological vector spaces, Studia Math., LVIII, (1976), 241-248. | MR | Zbl

[5] M. Valdivia, Sobre el teorema de la gráfica cerrada, Collectanea Math., XXII, Fasc. 1, (1971), 51-72. | Zbl

[6] M. Valdivia, On weak compactness, Studia Math., XLIX, (1973), 35-40. | MR | Zbl