Note à propos d'une conjecture de H.J. Godwin sur les unités des corps cubiques

Gras, Marie-Nicole

Annales de l'Institut Fourier, Tome 30 (1980) no. 4, pp. 1-6.

On démontre, à partir de résultats de H.J. Godwin, H. Brunotte et F. Halter-Koch, le théorème suivant : soit $K$ un corps cubique cyclique de conducteur $m$ dont le groupe de Galois $G$ est engendré par $\sigma$; soit $E$ le groupe des unités de norme 1.

Soit $\epsilon \in E$, $\epsilon \ne 1$, telle que $𝒮\left(\epsilon \right)=\frac{1}{2}\left[\right(\epsilon -{\epsilon }^{\sigma }{)}^2+({\epsilon }^{\sigma }-{\epsilon }^{{\sigma }^2}{)}^2+({\epsilon }^{{\sigma }^2}-\epsilon {)}^2]$ soit minimum. Alors $\epsilon$ est un $\mathbf{Z}\left[G\right]$-générateur de $E$.

We show, from results of H.J. Godwin, H. Brunotte and F. Halter-Koch, the following property: Let $K$ be a cubic cyclic field of conductor $m$, with Galois group $G$ generated by $\sigma$; let $E$ be the group of units of norm 1.

Let $\epsilon \in E$, $\epsilon \ne 1$, be such that $𝒮\left(\epsilon \right)=\frac{1}{2}\left[\right(\epsilon -{\epsilon }^{\sigma }{)}^2+({\epsilon }^{\sigma }-{\epsilon }^{{\sigma }^2}{)}^2+({\epsilon }^{{\sigma }^2}-\epsilon {)}^2]$ is minimal. Then $\epsilon$ is a $\mathbf{Z}\left[G\right]$-generator of $E$.

[1] H. Brunotte, F. Halter-Koch, Zur Einheitenberechnung in totalreellen kubischen Zahlkörpern nach Godwin, Journal of Number Theory, 11, fasc. 4 (1979), 552-559. | MR | Zbl

[2] H. J. Godwin, The determination of units in totally real cubic fields, Proc. Cambridge Philos. Soc., 56 (1960), 318-321. | MR | Zbl

[3] M. N. Gras, Méthodes et algorithmes pour le calcul numérique du nombre de classes et des unités des extensions cubiques cycliques de Q, J. Reine Angew. Math., 277 (1975), 89-116. | MR | Zbl

[4] M. N. Gras, Sur les corps cubiques dont l'anneau des entiers est monogène, Ann. Scient. Univ. Besançon, fasc. 6 (1973), 1-26. | Zbl

[5] H. Hasse, Arithmetische Bestimmung von Grundeinheit und Klassenzahl in zyklischen kubischen und biquadratischen Zahlkörpern, Abhandlungen der Deutscher Akademie der Wissenschaften zu Berlin, n° 2 (1948), 1-95. | Zbl