Opérateurs différentiels hypoelliptiques
Annales de l'Institut Fourier, Tome 9 (1959), pp. 1-73.

On établit une condition suffisante pour qu’un opérateur différentiel à coefficients indéfiniment différentiable sur un ouvert de R n y soit hypoelliptique. La démonstration, exposée au chapitre III, utilise divers espaces fonctionnels, qui sont étudiés au chapitre I. On prouve que ce critère implique celui de MM. Hörmander et Malgrange, qui affirme l’hypoellipticité des opérateurs formellement hypoelliptiques. Considérons un opérateur différentiel sur R x n , P(ν,D x ), dont les coefficients sont constants par rapport à x, mais sont des fonctions C du point ν d’un ouvert Ω de R n . L’opérateur à coefficients variables associé, P(x,D), est dit formellement hypoelliptique dans Ω si P(ν,D) est hypoelliptique pour chaque ν et si, pour deux points ν 1 ,ν 2 quelconques de Ω, P(ν 1 ,D) et P(ν 2 ,D) sont équivalents au sens d’Hörmander. Que notre critère soit plus fort que celui d’Hörmander et Malgrange provient essentiellement du fait, établi dans le chapitre II, que sous les conditions ci-dessus, il existe une fonction C E(ν) de ν, à valeurs dans l’espace des opérateurs continus de L c 2 dans L loc 2 , qui, pour chaque ν, constitue un inverse de P(ν,D). Dans la seconde partie du chapitre II, nous prouvons une réciproque de ce résultat. Enfin, nous exhibons l’exemple d’un opérateur différentiel qui satisfait notre critère, et qui est donc hypoelliptique, mais qu’aucun changement de coordonnées ne peut ramener au type formellement hypoelliptique.

@article{AIF_1959__9__1_0,
     author = {Tr\`eves, Fran\c{c}ois},
     title = {Op\'erateurs diff\'erentiels hypoelliptiques},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {1--73},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {9},
     year = {1959},
     doi = {10.5802/aif.85},
     mrnumber = {22 #4886},
     zbl = {0197.36602},
     language = {fr},
     url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.85/}
}
TY  - JOUR
AU  - Trèves, François
TI  - Opérateurs différentiels hypoelliptiques
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1959
SP  - 1
EP  - 73
VL  - 9
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.85/
DO  - 10.5802/aif.85
LA  - fr
ID  - AIF_1959__9__1_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Trèves, François
%T Opérateurs différentiels hypoelliptiques
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1959
%P 1-73
%V 9
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.85/
%R 10.5802/aif.85
%G fr
%F AIF_1959__9__1_0
Trèves, François. Opérateurs différentiels hypoelliptiques. Annales de l'Institut Fourier, Tome 9 (1959), pp. 1-73. doi : 10.5802/aif.85. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.85/

[1] F. E. Browder, Regularity theorems for solutions of partial differential equations. Proc. Nat. Acad. Sc., t. 43, n° 2, 1956, p. 234. | MR | Zbl

[1] J. Dieudonné et L. Schwartz, La dualité dans les espaces (F) et (LF) Ann. Inst. Fourier, 1949, p. 61. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[1] L. Ehrenpreis, General theory of elliptic equations. Proc. Nat. Acad. Sc., t. 42, n° 1, 1956, p. 39. | MR | Zbl

[1] L. Hörmander, On the theroy of general partial differential operators. Acta Math., t. 94, 1955, p. 160. | Zbl

[2] L. Hörmander, On Interior Regularity of the Solutions of Partial Differential Equations. Comm. pures and appl. Math., n° 2, 1958, p. 197. | Zbl

[1] P. D. Lax, On Cauchy problem for hyperbolic equations... Comm. pure and appl. Math., 1955, p. 615. | Zbl

[1] B. Malgrange, Existence et approximation des solutions des équations aux dérivées partielles. Ann. Inst. Fourier, t. 6, 1955-1956, p. 271. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[2] B. Malgrange, Sur une classe d'opérateurs différentiels hypoelliptiques. Bull. Soc. Math. France, 85, 1957, 283. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[1] S. Mizohata, Hypoellipticité des équations paraboliques. Bull. Soc. Math. France, 85, 1957, p. 15. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[2] S. Mizohata, Hypoellipticité des opérateurs différentiels elliptiques. Nancy, C. R. du Colloque sur les Eq. Der. Part., C.N.R.S., p. 165. | Zbl

[1] L. Schwartz Théorie des distributions, t. I et II, Hermann, 2e éd., Paris, 1958. | Zbl

[2] L. Schwartz, Seminaire 1953-1954, Inst. H. Poincaré, Paris.

[3] L. Schwartz, Espaces de fonctions différentiables à valeurs vectorielles. Journal d'Analyse Math., Jérusalem, t. 4, 1954-1955, p. 88-148. | MR | Zbl

[4] L. Schwartz, Théorie des Distributions à valeurs vectorielles. Ann. Inst. Fourier, 1957, t. 7, p. 1. | Numdam | MR | Zbl

[7] L. Schwartz, Séminaire 1954-1955, Inst. H. Poincaré, Paris.

[6] L. Schwartz, Ecuaciones diferenciales parciales elipticas, Bogota, Colombia, 1956. | Zbl

[7] L. Schwartz, Su alcuni problemi della teoria delle equazioni differenziali lineari di tipo ellittico. Inst. Mat. Univ. di Genova, 1957. | Zbl

[1] F. Trèves, Domination et opérateurs paraboliques. C. R. Acad. des Sc., t. 246, 1958. | MR | Zbl

Cité par Sources :