Feuilletages des surfaces

Levitt, Gilbert

Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 2, pp. 179-217.

On étudie, sur les surfaces compactes orientables, les feuilletages orientables (i.e. pouvant être définis par un champ de vecteurs) dont les singularités sont des selles. Ces feuilletages sont considérés modulo isotopies et opérations de Whitehead préservant l’orientabilité du feuilletage. Dans le première partie on définit les “feuilletages connexes”, ceux pour lesquels par deux points quelconques passe une transversable fermée. De façon équivalente, le feuilletage est la suspension d’un échange d’intervalles sur le cercle, est transverse à une 1-forme différentielle fermée, est transverse à une décomposition “canonique” en pantalons de la surface. La connexité ou non-connexité d’un feuilletage ne dépend que des classes d’homologie définies par les feuilles compactes et les cycles de feuilles. Dans la deuxième partie, on adapte la théorie des “cycles du feuilletage ” de Sullivan pour déterminer, en fonction des classes de cohomologie définies par les mesures transverses du feuilletage, les classes de cohomologie réelle contenant des formes fermées transverses au feuilletage ainsi que les classes d’homologie entière contenant des courbes fermées transverses.

This paper considers, on compact orientable surfaces, foliations that can be defined by a vector field and whose singularities are saddles. These foliations are studied up to isotopy and Whitehead operations which preserve the foliation’s orientability. The first part defines “connected foliations” as those for which any two points belong to a same transverse closed curve. Equivalently the foliation is the suspension of an interval exchange map on the circle, is transverse to some closed differential 1-form, is transverse to a “canonical” decomposition of the surface into pairs of pants. Connectedness of a foliation depends only on the homology classes defined by compact leaves and leaf cycles. The second part adapts Sullivan’s theory of “foliation cycles” in order to find, in terms of the cohomology classes defined by the transverse measures of the foliation, which real cohomology classes contain transverse closed 1-forms and which integral homology classes contain transvers closed curves.

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