Comportement à l'infini des solutions des équations de Navier-Stokes et propriété des ensembles fonctionnels invariants (ou attracteurs)

Guillopé, Colette

Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 3, pp. 1-37.

Les données, i.e. l’ouvert $\Omega$ et la force appliquée $f$, sont supposées de classe $𝒞$. Il est montré que toute solution des équations de Navier-Stokes dans l’ouvert $\Omega$, bornée dans $H^1(\Omega {)}^N$ ($N=2$ ou $3$) sur un intervalle de temps semi-infini $(t_0+\infty )$, est aussi bornée, pour $t\to +\infty$, dans tous les espaces $H^m(\Omega {)}^N$. Il en résulte que tout ensemble fonctionnel invariant ou attracteur borné dans $H^1\left(\Omega \right)(N$ (ou même $H^{1/2+\epsilon }(\Omega {)}^N$, $\epsilon >0$) est porté par ${𝒞}^{\infty }(\overline{\Omega })$. Le cas où les forces appliquées dérivent d’un potentiel (i.e. $f=0$) est abordé : il est montré que toute solution (ainsi que toutes ses dérivées par rapport au temps) converge dans ce cas vers 0 de façon exponentielle dans tous les espaces $H^m(\Omega {)}^N$, quand $t\to +\infty$.

The date, i.e. the domain $\Omega$ and the driving forces $f$, are ${𝒞}^{\infty }$. In this paper it is shown that every solution of the time-dependent Navier-Stokes equations which is bounded in $H^1(\Omega {)}^N$ ($N=2$ or $3$) on a semi-infinite time interval $(t_0+\infty )$, is also bounded, as $t\to +\infty$, in all spaces $H^m(\Omega {)}^N$. It follows that every functional invariant set (or attractor) bounded in $H^1(\Omega {)}^N$ (or even $H^{1/2+\epsilon }(\Omega {)}^N$, $\epsilon >0$) is contained in ${𝒞}^{\infty }(\overline{\Omega })$. Moreover if the driving forces are potential (i.e. $f=0$) then every related solution and its time-derivatives converge exponentially to $0$ in all spaces $H^m(\Omega {)}^N$, as $t$ goes to $+\infty$.

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