no. 4
Extensions centrales d'algèbres de Lie
Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 4, pp. 119-142.

Soient k un anneau commutatif et A une k-algèbre associative quelconque. Nous calculons le groupe d’homologie H 2 (𝔰l n (A),k) de la k-algèbre de Lie 𝔰l n (A) des matrices de “trace nulle” sur A. Le groupe ainsi déterminé est un groupe d’homologie d’un complexe inspiré d’A. Connes; il est isomorphe à Ω A/k 1 /dA lorsque A est commutative. Nous obtenons également des résultats pour un groupe d’homologie relative associé à une surjection de k-algèbres. Les démonstrations utilisent la classification des extensions centrales et des modules croisés d’algèbres de Lie.

Given a commutative ring k and an associative k-algebra A, we compute the homology group H 2 (𝔰l n (A),k) of the k-Lie algebra 𝔰l n (A)of “trace zero” matrices. This group appears to be a homology group of a complex derivated from A. Connes’ work; it is isomorphic to Ω A/k 1 /dA when A is commutative. Results are also given for relative homology associated to a surjection of k-algèbras. The proofs involve a classification of central extensions and crossed modules of Lie algebras.

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[1] S. Bloch, The dilogarithm and extensions of Lie algebras, Alg. K-theory, Evanston 1980, Springer Lecture Notes in Math., n° 854 (1981), 1-23. | MR | Zbl

[2] H. Cartan and S. Eilenberg, Homological algebra, Princeton University Press (1956). | MR | Zbl

[3] H. Garland, The arithmetic theory of loop groups, Publ. I.H.E.S., n° 52 (1980), 5-136. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[4] D. Guin-Walery et J.-L. Loday, Obstruction à l'excision en K-théorie algébrique, Alg. K-theory, Evanston 1980, Springer Lect. Notes in Math., n° 854 (1981), 179-216. | MR | Zbl

[5] G. Hochschild, Lie algebra kernels and cohomology, Amer. J. Math., 76 (1954), 698-716. | MR | Zbl

[6] C. Kassel, Homologie du groupe linéaire général et K-théorie stable, thèse, Université de Strasbourg, juin 1981.

[7] C. Kassel, Calcul algébrique de l'homologie de certains groupes de matrices, J. of Algebra, 80, n° 1 (1983). | MR | Zbl

[8] J.-L. Loday, Cohomologie et groupe de Steinberg relatifs, J. of Algebra, 54 (1978), 178-202. | MR | Zbl

[9] J. Milnor, Introduction to algebraic K-theory, Ann. of Math. Studies, n° 72, Princeton University Press (1971). | MR | Zbl

[10] M. Mori, On the three dimensional cohomology group of Lie algebras, J. Math. Soc. Japan, 5 (1953), 171-183. | MR | Zbl

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