A $G$-minimal model for principal $G$-bundles

Kumar, Shrawan

Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 4, pp. 205-219.

Sullivan associe une D.G.A. sur $\mathbf{Q}$ (qui est bien déterminée) à un complexe simplicial simplement connexe $E$. Cette algèbre contient toutes les informations sur l’homotopie rationnelle de $E$. Dans le cas où $E$ est l’espace total d’un fibré principal à groupe structural $G$ (où $G$ est un groupe de Lie compact et connexe), nous associons un modèle $G$-équivalent $U_G\left[E\right]$, qui est un ensemble de $DGA$ (sur $\mathbf{R}$) avec une action de $G$ qui sont “$G$-homotopes” (en général $U_G\left[E\right]$ n’est pas le modèle minimal de Sullivan de $E$). $U_G\left[E\right]$ contient toutes les informations sur l’homotopie rationnelle de $E$ et de $E/G$ et incorpore l’action de $G$ sur $E$.

Sullivan associated a uniquely determined $DGA{|}_{\mathbf{Q}}$ to any simply connected simplicial complex $E$. This algebra (called minimal model) contains the total (and exactly) rational homotopy information of the space $E$. In case $E$ is the total space of a principal $G$-bundle, ($G$ is a compact connected Lie-group) we associate a $G$-equivariant model $U_G\left[E\right]$, which is a collection of “$G$-homotopic” $DGA$’s${|}_{\mathbf{R}}$ with $G$-action. $U_G\left[E\right]$ will, in general, be different from the Sullivan’s minimal model of the space $E$. $U_G\left[E\right]$ contains the total rational homotopy information of the spaces $E$, $E/G$ and, in addition, it incorporates the action of $G$ (on $E$).

[1] H. Cartan, (a) Notions d'algèbre différentielle ; application aux groupes de Lie et aux variétés où opère un groupe de Lie, Colloque de topologie (Espaces Fibres), Bruxelles (1950), 15-27. | MR | Zbl

H. Cartan, (b) Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable, Id, 29-55.

[2] S. S. Chern and J. Simons, Characteristic forms and geometric invariants, Annales of Mathematics, 99 (1974), 48-69. | MR | Zbl

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[4] E. Friedlander, P. A. Griffiths and J. Morgan, Homotopy theory and differential forms, Seminario di Geometria, (1972).

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[6] B. Kostant, Lie group representations on polynomial rings, American journal of Mathematics, 85 (1963), 327-404. | MR | Zbl

[7] D. Sullivan, Differential forms and the topology of Manifolds, Proceedings of the International Conference on Manifolds, Tokyo, (1973), 37-49. | MR | Zbl