Germes de difféomorphismes et de champs de vecteurs en classe de différentiabilité finie

Dumortier, F.; Roussarie, Robert

Annales de l'Institut Fourier, Tome 33 (1983) no. 1, pp. 195-267.

Pour tout triplet d’entiers $s,k,\ell$ tels que $0\le s\le k\le \ell$, se pose la question d’étudier les germes de difféomorphismes ou de champs de vecteurs sur ${\mathbf{R}}^n$, de classe $\ell$, $k$-déterminés en classe $s$, c’est-à-dire respectivement conjugués ou équivalents en classe $s$, à tout germe ayant la même classe $\ell$ et le même $k$-jet. Cette question est abordée ici, avec quelque généralité en dimension 2 et pour les germes de champs de vecteurs de codimension 2, en dimension 3 et 4. Une conséquence de cette dernière étude est l’existence d’une filtration de l’espace des germes de champs de vecteurs sur ${\mathbf{R}}^n$, jusqu’à la codimension 2, pour la relation d’équivalence topologique, ce qui améliore un précédent résultat de F. Takens établi pour l’équivalence topologique faible.

For each triple of integers $s,k,\ell$, with $0\le s\le k$, there is the question to study the germs of $C^{\ell }$ diffeomorphisms or vector fields, on ${\mathbf{R}}^n$ which are $k$-determined in class $C^s$, i.e. which are respectively $C^s$-conjugated or equivalent to every $C^{\ell }$-germ with the same $k$-jet. This problem is handled here in some generality for dimension 2, and also for codimension 2 germs of vector fields, in dimension 3 and 4. As a consequence of this last study is obtained the existence of a filtration of the space of germs of vector fields in ${\mathbf{R}}^n$, up to codimension 2, for topological equivalence and not only for the weak topological equivalence as precedently established by F. Takens.

[1] H. Broer, Thesis, Université de Groeningen, 1980.

[2] F. Dumortier, Singularities of vector fields on the plane, Thèse, Vrije Universiteit Brussel, 1973.

[3] F. Dumortier, Singularities of vector fields on the plane, J. Diff. Eq., 23 (1977), 53-106. | MR | Zbl

[4] F. Dumortier, Singularities of vector fields, Monografias de Matemática, IMPA, Rio de Janeiro n° 32, 1978.

[5] F. Dumortier, P. Rodriguez et R. Roussarie, Germs of diffeomorphisms in the plane, Lect. Notes in Math., Springer-Verlag, Vol. 902, 1981. | MR | Zbl

[6] A. Kelley, The stable, center-stable, center, center-unstable and unstable manifolds, publié en appendice C dans : R. Abraham and J. Robbins Transversal Mappings and Flows, Benjamin, 1967. | MR | Zbl

[7] B.C. Lewis Jr, On formal power transformations, Duke Math. J., 5 (1939), 794-805. | JFM | MR | Zbl

[8] J. Palis et F. Takens, Topological equivalence for normally hyperbolic dynamical systems, Topology, 16 (1977). | MR | Zbl

[9] R. Roussarie, Modèles locaux de champs et de formes, Astérisque, Vol. 30, (1975), 1-181. | Numdam | MR | Zbl

[10] F. Takens, Partially hyperbolic fixed points, Topology, 10 (1971), 133-147. | MR | Zbl

[11] F. Takens, Normal forms for certain singularities of vector fields, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 23,2 (1973), 163-195. | Numdam | MR | Zbl

[12] F. Takens, Singularities of vector fields, Publ. Math. IHES, 43 (1974), 47-100. | Numdam | MR | Zbl