La transformation de Fourier-Plancherel analytique des groupes de Lie. I : algèbres de Weyl et opérateurs différentiels

Nghiêm Xuân Hai

Annales de l'Institut Fourier, Tome 33 (1983) no. 4, pp. 95-133.

Dans l’algèbre enveloppante d’une algèbre de Lie résoluble, on construit un anneau de Weyl caractéristique, canonique et maximal. On peut alors représenter algébriquement l’algèbre de Lie comme des dérivations de cet anneau de Weyl à condition d’effacer un 2-cocycle canonique d’obstruction. Lorsque l’on utilise la représentation de Schrödinger de l’anneau de Weyl, on peut introduire une primitive analytique du 2-cocycle et obtenir une représentation de l’algèbre de Lie par des opérateurs différentiels antisymétriques de degré au plus 2. L’exponentiation de cette représentation déterminera directement la Transformation de Fourier-Plancherel.

In the enveloping algebra of a solvable Lie algebra, one can exhibit a characteristic Weyl algebra which is canonical and maximal. There exists a canonical obstruction 2-cocycle to represent the Lie algebra as derivations of this Weyl-algebra. When the Schrödinger’s representation of the Weyl-algebra is used, one can produce an analytic primitive of this cocycle and obtain a representation of the Lie algebra as antisymmetrical differential operators of degree not bigger than two.

This representation, once exponentiated, will give the Fourier Plancherel transform of the analytic Lie group associated to the algebra.

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