Déterminant associé à une trace sur une algèbre de Banach
Annales de l'Institut Fourier, Volume 34 (1984) no. 1, pp. 241-260.

Let A be a complex Banach algebra, let GL (A) be the stable general linear group of A and let GL 0 (A) be its connected component for the norm topology. We show that, for any non zero trace r:AC, one may define a homomorphism Δ r from GL 0 (A) onto the quotient of the additive group C by the image r ̲(K 0 (A)) of the Grothendieck group of A. If A=M n (C) (respectively if A is a finite continuous factor) with the usual trace, than exp (i2πΔ r ) is the usual determinant (resp. exp (Re(i2πΔ r )) is that of Fuglede and Kadison). In general, the determinants Δ r make it possible to study the derived groups of GL 1 0 (A) and GL 0 (A), et thus also the relationship between the Whitehead groups K 1 (A) and K 1 top (A).

Soient A une algèbre de Banach complexe, GL (A) le groupe général linéaire stable de A et GL 0 (A) sa composante connexe pour la topologie normique. Nous montrons que toute trace non nulle r:AC permet de définir un homomorphisme Δ r de GL 0 (A) sur le quotient du groupe additif C par l’image r ̲(K 0 (A)) du groupe de Grothendieck de A. Si A=M n (C) (respectivement si A est un facteur fini continu) avec la trace usuelle, alors exp (i2πΔ r ) est le déterminant usuel (resp. exp ( Re (i2πΔ r )) est celui de Fuglede et Kadison). Dans le cas général, les déterminants Δ r permettent d’étudier les groupes dérivés de GL 1 0 (A) et GL 0 (A), donc aussi la relation entre les groupes de Whitehead K 1 (A) et K 1 top (A).

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Harpe, Pierre De La; Skandalis, Georges. Déterminant associé à une trace sur une algèbre de Banach. Annales de l'Institut Fourier, Volume 34 (1984) no. 1, pp. 241-260. doi : 10.5802/aif.958. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.958/

[1] A. Connes, An analogue of the Thom isomorphism for crossed products of a C*-algebra by an action of R, Adv. in Math., 39 (1981), 31-55. | MR | Zbl

[2] J. Cuntz, The internal structure of simple C*-algebras, In Proc. Symp. Pure Math., 38, Amer. Math. Soc., 1981. | MR | Zbl

[3] J. Cuntz et G.K. Pedersen, Equivalence and traces on C*-algebras, J. Functional Analysis, 33 (1979), 135-164. | MR | Zbl

[4] N. Dunford et J.T. Schwartz, Linear operators. Part II: Spectral theory, Interscience, 1963. | Zbl

[5] E.G. Effros, D.E. Handelman et C.L. Shen, Dimension groups and their affine representations, Amer. J. Math., 102 (1980), 385-407. | MR | Zbl

[6] G. Elliott, On the classification of inductive limits of sequences of semi-simple finite-dimensional algebras, J. Algebra, 38 (1976), 29-44. | MR | Zbl

[7] T. Fack, Finite sums of commutators in C*-algebras, Ann. Inst. Fourier, 32-1 (1982), 129-137. | Numdam | MR | Zbl

[8] B. Fuglede et R.V. Kadison, Determinant theory in finite factors, Ann. Math., 55 (1952), 520-530. | MR | Zbl

[9] A. Grothendieck, Un résultat sur le dual d'une C*-algèbre, Journal de Math., 36 (1957), 97-108. | MR | Zbl

[10] D. Handelman, communication non publiée.

[11] M. Karoubi, K-theory, an introduction, Springer, 1978. | MR | Zbl

[12] M. Karoubi, K-théorie algébrique de certaines algèbres d'opérateurs, Lecture Notes in Math., 725 (1979), 254-290. | MR | Zbl

[13] G.K. Pedersen et N.H. Petersen, Ideals in a C*-algebra, Math. Scand., 27 (1970), 193-204. | MR | Zbl

[14] M. Pimsner et D. Voiculescu, Imbedding the irrational rotation C*-algebra into an AF-algebra, J. Operator theory, 4 (1980), 201-210. | MR | Zbl

[15] J.L. Taylor, Banach algebras and topology in “Algebras in Analysis”, J.H. Williamson, ed., Academic Press, (1975) 118-186. | MR | Zbl

[16] Y. Yuen, Groups of invertible elements of Banach algebras, Bull. Amer. Math. Soc., 79 (1973), 82-84. | MR | Zbl

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