Fonctions à hessien borné

Demengel, Françoise

Annales de l'Institut Fourier, Volume 34 (1984) no. 2, pp. 155-190.

This paper is concerned with some properties of distributions defined on an open set of ${\mathbf{R}}^N$ the hessian of which is a bounded measure. We first state topological properties, as the weak compacity of bounded sets of $HB\left(\Omega \right)$ when $\Omega$ is bounded, the density of smooth functions for a topology sufficiently sharp. Then we address the questions of the behavior of such distribution on the boundary of $\Omega$. This leads us to study the same question for functions of $W^{2,1}\left(\Omega \right)$. Finally, we prove Sobolev imbedding Theorems appropriate in this context and specifically imbedding into some set of continuous functions.

Cet article établit quelques propriétés des distributions sur un ouvert $\Omega$ de ${\mathbf{R}}^N$ dont le hessien est une mesure bornée. Après quelques propriétés topologiques – Compacité faible des bornées de $HB\left(\Omega \right)$ lorsque $\Omega$ est borné, densité des fonctions régulières pour une topologie assez finie – on s’intéresse au comportement sur le bord de $\Omega$ lorsque $\partial \Omega$ est assez régulier; pour ce faire, on est amené à étudier celui des fonctions de $W^{2,1}$. On montre enfin dans une 3ème partie des théorèmes d’injection de Sobolev et notamment la continuité de telles fonctions.

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