Produits finis de commutateurs dans les C * -algèbres
Annales de l'Institut Fourier, Volume 34 (1984) no. 4, pp. 169-202.

Let A be a simple approximately finite dimensional C * -algebra with unit, let GL 1 (A) be the group of invertible elements and let U 1 (A) be that of unitaries in A. We have defined in a previous work a universal determinant Δ T of A, which is a homomorphism from GL 1 (A) onto an abelian group associated to A. We show here that in element x in GL 1 (A) or in U 1 (A) is a product of finitely many commutators if (and only if) x Ker (Δ T ). In particular, one may thus characterize the kernel of the canonical projection K 1 (A)K 1 top (A). Other results are established about stable C * -algebras and infinite simple C * -algebras with unit.

Soient A une C * -algèbre approximativement finie simple avec unité, GL 1 (A) le groupe des inversibles et U 1 (A) le groupe des unitaires de A. Nous avons défini dans un précédent travail un homomorphisme Δ T , appelé déterminant universel de A, de GL 1 (A) sur un groupe abélien associé à A. Nous montrons ici que, pour qu’un élément x dans GL 1 (A) ou dans U 1 (A) soit produit d’un nombre fini de commutateurs, il (faut et il) suffit que x Ker (Δ T ). Ceci permet en particulier d’identifier le noyau de la projection canonique K 1 (A)K 1 top (A). On établit aussi des résultats concernant les C * -algèbres stables et les C * -algèbres infinies simples avec unité.

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Harpe, Pierre De La; Skandalis, Georges. Produits finis de commutateurs dans les $C^*$-algèbres. Annales de l'Institut Fourier, Volume 34 (1984) no. 4, pp. 169-202. doi : 10.5802/aif.993. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.993/

[1] J. Anderson, Commutators of compact operators, J. Reine Angew. Math., 291 (1977), 128-132. | MR | Zbl

[2] E. Christensen, Perturbations of type I von Neumann algebras, J. London Math. Soc., 9 (1975), 395-405. | MR | Zbl

[3] G. A. Elliott, On totally ordered groups, and Ko, In «Ring theory, Waterloo 1978», Lecture Notes in Math., 734 (Springer, 1979), 1-49. | MR | Zbl

[4] T. Fack, Finite sums of commutators in C*-algebras, Ann. Inst. Fourier, 32-1 (1982), 129-137. | Numdam | MR | Zbl

[5] T. Fack et P. De La Harpe, Sommes de commutateurs dans les algèbres de von Neumann finies continues, Ann. Inst. Fourier, 30-3 (1980), 49-73. | Numdam | MR | Zbl

[6] P. Fan et C. K. Fong, Which operators are the self-commutators of compact operators ? Proc. Amer. Math. Soc., 80 (1980), 58-60. | MR | Zbl

[7] M. Gotô, A theorem on compact semi-simple groups, J. of Math. Soc. Japan, 1 (1949), 270-272. Voir aussi H. TÔYAMA, On commutators of matrices, Kōdai Math. Sem. Rep., 5-6 (1949), 1-2. | MR | Zbl

[8] P. De La Harpe et G. Skandalis, Déterminant associé à une trace sur une algèbre de Banach, Ann. Inst. Fourier, 34-1 (1984), 241-260. | Numdam | MR | Zbl

[9] S. Pasiencier et H. C. Wang, Commutators in a semi-simple Lie group, Proc. Amer. Math. Soc., 13 (1962), 907-913. | MR | Zbl

[10] C. Pearcy et D. Topping, On commutators in ideals of compact operators, Mich. Math. J., 18 (1971), 247-252. | MR | Zbl

[11] G. K. Pedersen, C*-algebras and their automorphism groups, Academic Press, 1979. | MR | Zbl

[12] K. Soda, Einige Sätze über Matrizen, Japan J. Math., 13 (1937), 361-365. | JFM | Zbl

Cited by Sources: