Let be a simple approximately finite dimensional -algebra with unit, let be the group of invertible elements and let be that of unitaries in . We have defined in a previous work a universal determinant of , which is a homomorphism from onto an abelian group associated to . We show here that in element in or in is a product of finitely many commutators if (and only if) In particular, one may thus characterize the kernel of the canonical projection Other results are established about stable -algebras and infinite simple -algebras with unit.
Soient une -algèbre approximativement finie simple avec unité, le groupe des inversibles et le groupe des unitaires de . Nous avons défini dans un précédent travail un homomorphisme , appelé déterminant universel de , de sur un groupe abélien associé à . Nous montrons ici que, pour qu’un élément dans ou dans soit produit d’un nombre fini de commutateurs, il (faut et il) suffit que Ceci permet en particulier d’identifier le noyau de la projection canonique On établit aussi des résultats concernant les -algèbres stables et les -algèbres infinies simples avec unité.
@article{AIF_1984__34_4_169_0, author = {Harpe, Pierre De La and Skandalis, Georges}, title = {Produits finis de commutateurs dans les $C^*$-alg\`ebres}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {169--202}, publisher = {Imprimerie Durand}, address = {Chartres}, volume = {34}, number = {4}, year = {1984}, doi = {10.5802/aif.993}, mrnumber = {87i:46146b}, zbl = {0536.46044}, language = {fr}, url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.993/} }
TY - JOUR AU - Harpe, Pierre De La AU - Skandalis, Georges TI - Produits finis de commutateurs dans les $C^*$-algèbres JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 1984 SP - 169 EP - 202 VL - 34 IS - 4 PB - Imprimerie Durand PP - Chartres UR - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.993/ DO - 10.5802/aif.993 LA - fr ID - AIF_1984__34_4_169_0 ER -
%0 Journal Article %A Harpe, Pierre De La %A Skandalis, Georges %T Produits finis de commutateurs dans les $C^*$-algèbres %J Annales de l'Institut Fourier %D 1984 %P 169-202 %V 34 %N 4 %I Imprimerie Durand %C Chartres %U http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.993/ %R 10.5802/aif.993 %G fr %F AIF_1984__34_4_169_0
Harpe, Pierre De La; Skandalis, Georges. Produits finis de commutateurs dans les $C^*$-algèbres. Annales de l'Institut Fourier, Volume 34 (1984) no. 4, pp. 169-202. doi : 10.5802/aif.993. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.993/
[1] Commutators of compact operators, J. Reine Angew. Math., 291 (1977), 128-132. | MR | Zbl
,[2] Perturbations of type I von Neumann algebras, J. London Math. Soc., 9 (1975), 395-405. | MR | Zbl
,[3] On totally ordered groups, and Ko, In «Ring theory, Waterloo 1978», Lecture Notes in Math., 734 (Springer, 1979), 1-49. | MR | Zbl
,[4] Finite sums of commutators in C*-algebras, Ann. Inst. Fourier, 32-1 (1982), 129-137. | Numdam | MR | Zbl
,[5] Sommes de commutateurs dans les algèbres de von Neumann finies continues, Ann. Inst. Fourier, 30-3 (1980), 49-73. | Numdam | MR | Zbl
et ,[6] Which operators are the self-commutators of compact operators ? Proc. Amer. Math. Soc., 80 (1980), 58-60. | MR | Zbl
et ,[7] A theorem on compact semi-simple groups, J. of Math. Soc. Japan, 1 (1949), 270-272. Voir aussi H. TÔYAMA, On commutators of matrices, Kōdai Math. Sem. Rep., 5-6 (1949), 1-2. | MR | Zbl
,[8] Déterminant associé à une trace sur une algèbre de Banach, Ann. Inst. Fourier, 34-1 (1984), 241-260. | Numdam | MR | Zbl
et ,[9] Commutators in a semi-simple Lie group, Proc. Amer. Math. Soc., 13 (1962), 907-913. | MR | Zbl
et ,[10] On commutators in ideals of compact operators, Mich. Math. J., 18 (1971), 247-252. | MR | Zbl
et ,[11] C*-algebras and their automorphism groups, Academic Press, 1979. | MR | Zbl
,[12] Einige Sätze über Matrizen, Japan J. Math., 13 (1937), 361-365. | JFM | Zbl
,Cited by Sources: