La conjecture de Dickson et classes particulières d’entiers

Boudaoud, Abdelmadjid

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 13 (2006) no. 1, pp. 103-109.

En admettant la conjecture de Dickson, nous démontrons que, pour chaque couple d’entiers $q>0$ et $k>0$, il existe une partie infinie $L_{q,k}\subset \mathbb{N}$ telle que, pour chacun des entiers $n\in L_{q,k}$ et tout entier $s$ tel que $0<\left|s\right|\le q$, on ait $n+s=\left|s\right|t_1...t_k$ où $t_1<...<t_k$ sont des nombres premiers. De même, pour chaque couple d’entiers $q>0$ et $k>0$, il existe une partie infinie $M_{q,k}\subset \mathbb{N}$ telle que, pour chacun des entiers $n\in M_{q,k}$ et tout entier $s$ (nul ou non ) de l’intervalle $\left[-q,q\right]$, on ait $n+s=l{t}_1...t_k$ où $t_1<...<t_k$ sont des nombres premiers et l’entier $l$ appartient à l’intervalle $\left[1,2q+1\right]$. La lecture non standard de ce résultat nous suggère la question suivante : est-ce-que chaque entier illimité est, à un entier limité près, produit de deux entiers illimités ? Suite à ceci nous présentons des familles d’entiers, dans chacune desquelles tout nombre illimité est produit de deux entiers illimités.

As a consequence of Dickson’s Conjecture, we prove, for each couple of integers $q>0$ and $k>0$, the existence of an infinite set $L_{q,k}\subset \mathbb{N}$ such that, for each $n\in L_{q,k}$ and every integer $s$, $0<\left|s\right|\le q$, we have $n+s=\left|s\right|t_1...t_k$ where $t_1<...<t_k$are prime numbers. Similarly, we prove the existence of an infinite set $M_{q,k}\subset \mathbb{N}$ such that , for each $n\in M_{q,k}$ and every integer $s\in \left[-q,q\right]$ (including $0$), we have $n+s=l{t}_1...t_k$ where $t_1<...<t_k$ are prime numbers and $l\in \left[1,2q+1\right]$ is an integer. The nonstandard interpretation of this result suggests the following question: Is every unlimited integer equal to the sum of a limited integer and a product of two unlimited integers ? We present families of integers in which each unlimited member is a product of two unlimited integers.

Classification : 11N32, 26E35, 11A51, 11A41, 11B83
Mots clés : Conjecture de Dickson, analyse non standard, nombres premiers, suites d’entiers naturels.

[1] Dickson, L. E. A new extension of Dirichlet’s theorem on prime numbers, Messenger, Volume 2 no. 38, pp. 155-161

[2] Diener, F.; Reeb, G. Analyse non standard, Hermann, 1989 | MR | Zbl

[3] Nelson, E. Internal set theory : A new approach to non standard analysis, bull. Amer. Math. Soc., Volume 83 (1977), pp. 1165-1198 | DOI | MR | Zbl

[4] Ribenboim, Paulo The Little Book of Big Primes, Springer-Verlag, 1991 | MR | Zbl

[5] Ribenboim, Paulo Nombres premiers : mystères et records, PUF, 1994 (page 214) | MR | Zbl

[6] Schinzel, A.; Sierpinski, W. Sur certaines hypothèses concernant les nombres premiers, Acta Arith. 4 (1958), 185–208 ; erratum, Volume 5 (1958), pp. 259 | MR | Zbl