Sur la constante d’Eisenstein

Mechik, Rachid

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 15 (2008) no. 1, pp. 87-108.

On cherche à donner une méthode effective de calcul de la constante d’Eisenstein [3] d’une fonction algébrique. On commence en précisant les liens entre cette constante et les rayons de convergence $p$-adiques de la fonction pour les différents nombres premiers $p$. Puis on donne une démonstration entièrement effective du résultat bien connu liant fonctions algébriques et diagonales de fractions rationnelles. Enfin on explique comment en déduire une méthode de calcul générale. On illustre la méthode en l’appliquant aux fonctions ${(1-x)}^r$. On termine en montrant que le calcul de la constante d’Eisenstein de la diagonale d’une fraction rationnelle se ramène à un nombre fini de problèmes d’optimisation linéaire.

We try to give an efficient method for calculating the Eisenstein constant [3] of an algebraic function. We begin by specifying the ties between this constant and the p-adic convergence radius of the function for different prime numbers $p.$ Then we give an entirely efficient proof of the very known result joining algebraic functions and diagonal of rational fractions. Finally we explain how to deduct a general calculation method. We illustrate the method by applying it to the functions ${(1-x)}^r.$ We finish by showing that the calculation of the Eisenstein constant of the diagonal of a rational fraction amounts to a finite number of linear optimization problems.

Classification : 11S05, 13J05
Mot clés : Diagonale de fraction rationnelle, constante d’Eisenstein
Keywords: Diagonale de fraction rationnellEisenstein constant, algebraic function, $p$-adic convergence

[1] Christol, G. Limites uniformes $p$-adiques de fonctions algébriques (1977) (Thèse de Doctorat d’Etat, Univ. Paris 6)

[2] Denef, J.; Lipshitz, L. Agebraic Power Series and Diagonals, J. Number theory, Volume 26 (1987), pp. 46-67 | DOI | MR | Zbl

[3] Dienes, P. The Taylor series. An introduction to the theory of functions of a complex variable., Dover Publications Inc., New York, 1957 | MR | Zbl

[4] Dwork, B.M.; Van der Poorten, A.J. The Eisenstein Constant, Duke Math. J., Volume 65 (1992), pp. 23-43 | DOI | MR | Zbl

[5] Dwork, B.M.; Van der Poorten, A.J. Correction to “The Eisenstein Constant”, Duke Math. J., Volume 76 (1994), pp. 669-672 | DOI | Zbl

[6] Dwork, B.M.; Robba, P. On Natural Radii of $p$-adique Convergence, Trans. Am. Math. Soc, Volume 256 (1979), pp. 199-213 | MR | Zbl

[7] Furstenberg, H. Algebraic functions over finite fields, J. of Algebra, Volume 7 (1967), pp. 271-277 | DOI | MR | Zbl

[8] Mechik, R. Diagonales de fractions rationnelles (1991) (Thèse de Magister, U.S.T.H.B Alger)

[9] Schmidt, W.M. Eisenstein’s Theorem on Power Series Expansions of Algebraic Functions, Acta Arithmetica, Volume 56 (1990), pp. 161-179 | Zbl