Capitulation des $2$-classes d’idéaux de $\mathbf{Q}(\sqrt{-pq(2+\sqrt{2})})$ où $p\equiv q\equiv \pm 5\;\@mod \;8$

Azizi, Abdelmalek; Talbi, Mohammed

doi:10.5802/ambp.253

Capitulation des

2

-classes d’idéaux de

Q (\sqrt{- p q (2 + \sqrt{2})})

où

p \equiv q \equiv \pm 5 mod 8

Azizi, Abdelmalek ¹ ; Talbi, Mohammed ¹

¹ Département de Mathématiques Faculté des Sciences Université Mohamed 1 Oujda MAROC

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 16 (2009) no. 1, pp. 57-69.

Résumé
Abstract

Soient $K = Q (\sqrt{- p q (2 + \sqrt{2})})$ où $p$ et $q$ deux nombres premiers différents tels que $p \equiv q \equiv \pm 5 mod 8$ , $K_{2}^{(1)}$ le $2$ -corps de classes de Hilbert de $K$ , $K_{2}^{(2)}$ le $2$ -corps de classes de Hilbert de $K_{2}^{(1)}$ et $G$ le groupe de Galois de $K_{2}^{(2)} / K$ . D’après [4], la $2$ -partie $C_{2, K}$ du groupe de classes de $K$ est de type $(2, 2)$ , par suite $K_{2}^{(1)}$ contient trois extensions $F_{i} / K$ ; $i = 1, 2, 3$ . Dans ce papier, on s’interesse au problème de capitulation des $2$ -classes d’idéaux de $K$ dans $F_{i}$ $(i = 1, 2, 3)$ et à déterminer la structure de $G$ .

Let $K = Q (\sqrt{- p q (2 + \sqrt{2})})$ where $p$ and $q$ are two different prime numbers such that $p \equiv q \equiv \pm 5 mod 8$ , $K_{2}^{(1)}$ the Hilbert $2$ -class field of $K$ , $K_{2}^{(2)}$ the Hilbert $2$ -class field of $K_{2}^{(1)}$ and $G$ the Galois group of $K_{2}^{(2)} / K$ . According to [4], $C_{2, K}$ , the Sylow $2$ -subgroup of the ideal class group of $K$ is isomorphic to $Z / 2 Z \times Z / 2 Z$ , consequently $K_{2}^{(1)} / K$ contains three extensions $F_{i} / K$ $(i = 1, 2, 3)$ . In this paper, we are interested in the problem of capitulation of the classes of $C_{2, K}$ in $F_{i}$ $(i = 1, 2, 3)$ and to determine the structure of $G$ .

MR Zbl

DOI : 10.5802/ambp.253

Classification : 11R27, 11R29, 11R37
Mot clés : Corps Quartiques, Groupes d’Unités, Corps de Classes de Hilbert, Capitulation
Keywords: Quartic Fields, Unit Groups, Hilbert Class Field, Capitulation

Affiliations des auteurs :

Azizi, Abdelmalek ¹ ; Talbi, Mohammed ¹

¹ Département de Mathématiques Faculté des Sciences Université Mohamed 1 Oujda MAROC

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Azizi, Abdelmalek; Talbi, Mohammed. Capitulation des $2$-classes d’idéaux de $\mathbf{Q}(\sqrt{-pq(2+\sqrt{2})})$ où $p\equiv q\equiv \pm 5\;\@mod \;8$. Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 16 (2009) no. 1, pp. 57-69. doi : 10.5802/ambp.253. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/ambp.253/

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