Nouveaux résultats sur les petites perturbations d’équations d’évolutions aléatoires

Rajaonarison, Lyliane Irène; Rabeherimanana, Toussaint Joseph

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 19 (2012) no. 1, pp. 271-296.

Dans cet article, nous étudions les résultats de grandes déviations associés au couple $(X^{\epsilon },{\nu }^{\epsilon })$, solution de l’E.D.S. interprétée au sens d’Itô :

$$d{X}_t^{\epsilon }=\sqrt{\epsilon }{\sigma }_{{\nu }^{\epsilon }\left(t\right)}\left(X_t^{\epsilon }\right)d{W}_t+b_{{\nu }^{\epsilon }\left(t\right)}\left(X_t^{\epsilon }\right)dt;X_0^{\epsilon }=x\in {ℝ}^d$$

avec des conditions assez générales sur les coefficients et dans les deux cas suivants :

Premier cas : ${\nu }^{\epsilon }$ est indépendant du mouvement brownien $W$ et satisfait à un principe de grandes déviations ;

Deuxième cas : ${\nu }^{\epsilon }$ est un processus markovien avec un nombre fini d’états $\{1,...,n\}$ vérifiant

$$\mathbb{P}\{{\nu }^{\epsilon }(t+\Delta )=j/{\nu }^{\epsilon }\left(t\right)=i,X^{\epsilon }\left(t\right)=x\}=d_{ij}\left(x\right)\Delta +o\left(\Delta \right)$$

uniformément dans ${ℝ}^d$ pourvu que $\Delta \downarrow 0,1\le i,j\le n,i\ne j$.

Ces résultats sont des extensions de ceux de Bezuidenhout [2] et d’Eizenberg & Freidlin [7] au cas où $\sigma$ est quelconque.

In this paper, we study a large deviations principle associated to the couple $(X^{\epsilon },{\nu }^{\epsilon })$, solution of Itô integral:

$$d{X}_t^{\epsilon }=\sqrt{\epsilon }{\sigma }_{{\nu }^{\epsilon }\left(t\right)}\left(X_t^{\epsilon }\right)d{W}_t+b_{{\nu }^{\epsilon }\left(t\right)}\left(X_t^{\epsilon }\right)dt;X_0^{\epsilon }=x\in {ℝ}^d$$

under general conditions on the coefficients, in the two following cases:

First case: ${\nu }^{\epsilon }$ is independant of the brownian motion $W$ and obeys a large deviations principle;

Second case: ${\nu }^{\epsilon }$ is a markovian process with finite states $\{1,...,n\}$ such that $\mathbb{P}\{{\nu }^{\epsilon }(t+\Delta )=j/{\nu }^{\epsilon }\left(t\right)=i,X^{\epsilon }\left(t\right)=x\}=d_{ij}\left(x\right)\Delta +o\left(\Delta \right)$ uniformely in ${ℝ}^d$, provided $\Delta \downarrow 0,1\le i,j\le n,i\ne j$.

Our results extend those of Bezuidenhout [2] and Eizenberg & Freidlin [7], to general $\sigma$.

[1] Azencott, R. Grandes Déviations et Applications, Ecole d’Eté de Proba. de Saint Flour VIII, Volume 774 (1980), pp. 1-76 (Lect. Notes in Math.) | DOI | MR | Zbl

[2] Bezuidenhout, C. A large deviations principle for small random perturbations of random evolution equations, Ann. Probab., Volume 15 (1987), pp. 646-658 | DOI | MR | Zbl

[3] Dembo, A.; Zeitouni, O. Large Deviations Techniques and Applications, Applications of Mathematics 38, Springer-Verlag, New-York, 1998 | MR | Zbl

[4] Doss, H.; Priouret, P. Petites perturbations de systèmes dynamiques avec réflexion, Seminar on probability, XVII, Volume 986 (1983), pp. 353-370 (Lectures Notes in Math.) | Numdam | MR | Zbl

[5] Eizenberg, A.; Freidlin, M.I. On the Dirichlet problem for a class of second order P.D.E. systems with small parameter, Stochastics and Stoshastics Reports, Volume 33, no 3 (1990), pp. 111-148 | DOI | MR | Zbl

[6] Eizenberg, A.; Freidlin, M.I. Averaging principle for perturbed random evolution equations and corresponding Dirichlet problems, Prob. Theory Relat. Fields, Volume 94 (1993), pp. 335-374 | DOI | MR | Zbl

[7] Eizenberg, A.; Freidlin, M.I. Large deviations for Markov process corresponding to P.D.E. systems, Ann. Prob., Volume 21,no 2 (1993), pp. 1015-1044 | DOI | MR | Zbl

[8] Hu, Y.-J. A unified approach to the large deviations for small perturbations of random evolution equations, Science in China (séries A), Volume 40,no 7 (1997), pp. 697-706 | DOI | MR | Zbl

[9] Mellouk, M. A large deviation principle for random evolution equations, Bernouilli 6, Volume no 6 (2000), pp. 977-999 | DOI | MR

[10] Mogul’skii, A.A. Large deviations for trajectories of multidimensional random walks, Th. Prob. Appl., Volume 21 (1976), pp. 300-315 | DOI | Zbl

[11] Priouret, Pierre Remarques sur les petites perturbations de systèmes dynamiques, Seminar on Probability, XVI (Lecture Notes in Math.), Volume 920, Springer, Berlin, 1982, pp. 184-200 | Numdam | MR | Zbl

[12] Rabeherimanana, T. J. Principe de grandes déviations en théorie du filtrage non linéaire et Algèbre de Lie Nilpotentes, Ann. de l’Inst. H. Poincaré, Volume 30, no 3 (1994), pp. 331-352 | Numdam | MR | Zbl

[13] Rabeherimanana, T. J. Grandes déviations et loi fonctionnelle du logarithme itéré pour les processus aléatoires, Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, Volume XI, no 2 (2002), pp. 201-224 | DOI | Numdam | MR

[14] Rabeherimanana, T. J. Contribution à l’étude des chaînes de différences absolues et grandes déviations (2007) Habilitation à Diriger les Recherches de l’Université Université d’Antananarivo (spécialité : mathématiques)

[15] Stroock, D.W. An introduction to large deviations, Springer-Verlag, New York Inc, 1984 | MR

[16] Wentzeell, A.D.; Freidlin, M.I. On small random perturbations of dynamical systems, Russian Math. Surveys, Volume 25 (1970), pp. 1-25 | DOI | MR | Zbl

[17] Hu, Y.-J A large deviation principle for small perturbations of random evolution equations in Hölder norm, Stochastic Process, Volume no 1 (83-99), pp. 1997 (Appl.68) | MR | Zbl