Groupes totaux

Deschamps, Bruno; Suarez Atias, Ivan

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 20 (2013) no. 2, pp. 261-299.

Les « groupes totaux » sont les groupes pour lesquels la dimension du centre l’algèbre des invariants d’une algèbre simple centrale ${𝔄}_f$ associée à un $2$-cocycle $f\in {\text{Z}}^2(\text{Gal}(L/k),L^{*})$ sous l’action d’un relevé de l’action galoisienne à ${𝔄}_f$ est constante quels que soient $k$ et $f$. Dans cet article, nous montrons que les groupes quasi-CC (qui sont les groupes de centre cyclique et dont les centralisateurs des éléments hors du centre sont cycliques) sont totaux. Les groupes de type CC qui sont les groupes quasi-CC à centre trivial sont donc totaux. Nous en donnons une classification complète. Nous décrivons également une famille infinie de groupes quasi-CC qui ne sont pas de type CC : les groupes méta-dicycliques.

Total groups are groups for which the dimension of the invariant algebra center of a central simple algebra ${𝔄}_f$ associated to a $2$-cocycle $f\in {\text{Z}}^2(\text{Gal}(L/k),L^{*})$ under a lifting of the Galois action to ${𝔄}_f$ is constant for all $k$ and $f$. In this article, we show that the quasi-CC groups (groups with cyclic center and for which all the centralizer of non-central elements are cyclic) are total. CC-groups, which are quasi-CC groups with trivial center, are thus total. We give a complete classification of these groups. We also describe a general family of quasi-CC groups which are not CC: the meta-dicyclic groups.

Classification : 20E99, 20D99, 16S35, 12E15, 16K50
Mot clés : Algèbres simples centrales, action galoisienne, groupe CA et CC
Keywords: Simple central algebra, Galois action, CA and CC groups

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