Parois et vortex en micromagnétisme

Rivière, Tristan

Journées équations aux dérivées partielles (2002), article no. 14, 15 p.

Nous présenterons l’énergie libre modélisant les états (polarisations) des matériaux ferromagnétiques. Le problème variationnel associé contient de nombreux régimes asymptotiques dans lesquels «on voit» se former des défauts du type vortex, du type paroi (Bloch et Neel Walls) ou du type mixte paroi-vortex (Cross-Tie Walls). Le but de cet exposé est de présenter les travaux qui s’efforcent de donner une justification mathématique à la création de ces singularités. Nous décrirons l’insuffisance des méthodes classiques de l’analyse fonctionnelle linéaire à rendre compte de ces phénomènes de perte de régularité et introduirons une approche mettant en oeuvre des outils de la théorie de la mesure géométrique appliqués à l’analyse des équations aux dérivées partielles. L’analyse des défauts en micromagnétisme a suscité des questions théoriques sur les lois de conservation scalaires non-linéaires. Nous présenterons à cette occasion un résultat récent généralisant le phénomène de régularisation de Lax-Oleinick pour les lois scalaire à non-linéarité strictement convexe ${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial f\left(u\right)}{\partial x}=0}$ (0$">$f">0$), au cas où la distribution entropique de sauts n’est pas forcément de signe uniforme mais est une mesure signée quelconque : pour tout $S$ dans $C^2$, ${\displaystyle \frac{\partial S\left(u\right)}{\partial t}+\frac{\partial \Phi \left(u\right)}{\partial x}}$ est une mesure de Radon ($(S,\Phi )$ paire entropie flux : ${\Phi }^{\text{'}}=S^{\text{'}}{f}^{\text{'}}$). Nous démontrons alors que dans ce cas, en dimension 1+1, pour une donnée initiale mesurable et bornée quelconque, les ondes de chocs sont contenues dans une union au plus dénombrable de courbes $C^1$.

[ARS] F. Alouges, T. Rivière and S. Serfaty, "Néel Walls and Cross-tie Walls for micromagnetic materials having a strong planar anisotropy", COCV (2002), Volume à la mémoire de J.L.Lions.

[ADM] L. Ambrosio, C. De Lellis, and C. Mantegazza, "Line energies for gradient vector fields in the plane", Calc. Var. PDE 9 (1999) 4, 327-355. | MR | Zbl

[AFP] L. Ambrosio, N. Fusco, and D. Pallara, "Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems", Oxford University Press, (2000). | MR | Zbl

[AKLR] L. Ambrosio, B. Kirchheim, M. Lecumberry and T. Rivière "Rectifiability of defect measures arising in micromagnetic domains" Volume dedicated to the 80th birthday of O.Ladyzhenskaya, Kluwer Academic (2002). | MR | Zbl

[ALR] L. Ambrosio, M. Lecumberry and T. Rivière, A viscosity property of minimizing micromagnetic configurations, submitted, (2002). | MR | Zbl

[AG1] P. Aviles and Y. Giga, A mathematical problem related to the physical theory of liquid crystals configurations, Proc. Centre Math. Anal. Austral. Nat. Univ., 12, (1987), 1-16. | MR

[AG2] P. Aviles and Y. Giga, On lower semicontinuity of a defect obtained by a singular limit of the Ginzburg-Landau type energy for gradient fields, Proc. Royal Soc. Edinburgh, Sec A, 129, (1999), 1-17. | MR | Zbl

[Da] C.M. Dafermos "Generalized characteristics and the structure of solutions of hyperbolic conservation laws" Indiana University Math. J. 26 (1977) 1097-1119. | MR | Zbl

[DKMO1] A. Desimone, R.V. Kohn, S. Müller and F. Otto, A compactness result in the gradient theory of phase transitions, to appear in Proc. Royal Soc. Edinburgh. | MR | Zbl

[DKMO2] A. Desimone, R.V. Kohn, S. Müller and F. Otto, "Magnetic microstructures, a paradigm of multiscale problems", to appear in Proceedings of ICIAM, (1999). | MR | Zbl

[DKMO3] A Desimone, R.V. Kohn, S. Müller and F. Otto, "A reduced theory for thin-film micromagnetics" to appear in CPAM (2002). | MR | Zbl

[Di] R.J. Diperna "The structure of solutions to hyperbolic conservation laws" Non linear analysis and mechanics : Heriot-Watt Symposium, Vol IV Res. Notes in Math. 39 Pitman, Boston (1979) 1-16. | MR | Zbl

[DLM] R. Diperna, P.L. Lions and Y. Meyer " L p regularity of velocity averages" Annales IHP, Analyse non linéaire, 8, (1991), 271-287. | Numdam | MR | Zbl

[HS] A. Hubert and R. Schäfer "Magnetic domains; the analysis of Magnetic Microstructures" Springer (1998).

[JP1] P.E. Jabin and B. Perthame, "Compactness in Ginzburg-Landau energy by kinetic averaging" Comm. Pure Appl. Math., 54, (2001), no 9, 1096-1109. | MR | Zbl

[JP2] P.E. Jabin and B. Perthame, "Regularity in kinetic formulations via averaging lemmas" prépublication (2002). | Numdam | MR

[La] P.D. Lax "Hyperbolic systems of conservation laws II" Comm. Pure Appl. Math. 10 (1957) 537-566. XIV-14 | MR | Zbl

[LR1] M. Lecumberry and T. Rivière, "Regularity for micromagnetic configurations having zero jump energy", to appear in Calc. of Var. and P.D.E. (2002). | MR | Zbl

[LR2] M. Lecumberry and T. Rivière, "Rectifiability of Shock waves for some nonlinear hyperbolic conservation laws" prépublication (2002).

[LPT] P.L. Lions, B. Perthame and E. Tadmor "A kinetic formulation of multidimensional scalar conservation laws and related equations" J. A.M.S., 7 (1994), no7, 169-191. | MR | Zbl

[Ol] O. Oleinik, "The cauchy problem for non-linear equations in a class of discontinuous functions" Dokl. Akad. Nauk SSSR 95 (1954), 451-454. English transl : AMS Trans. Ser.2 42, AMS, Providence, RI, (1964), 7-12. | MR | Zbl

[Pe] B. Perthame "Uniqueness and error estimates in first order quasilinear conservation laws via the kinetic entropy defect measure" J. Math. Pures Appl. 77, (1998), 1055-1064. | MR | Zbl

[RS1] T. Rivière and S. Serfaty, "Limiting Domain Wall Energy for a Problem Related to Micromagnetics", Comm. Pure Appl. Math., 54, (2001), 294-338. | MR | Zbl

[RS2] T. Rivière and S. Serfaty, "Compactness, kinetic formulation and entropies for a problem related to micromagnetics", to appear in Comm. P.D.E. (2002). | MR | Zbl

[Ta] L. Tartar "Compensated compactness and applications to partial differential equations" Non linear analysis and mechanics : Heriot-Watt Symposium, Vol IV Res. Notes in Math. 39 Pitman, Boston (1979) | MR | Zbl