Répartition galoisienne ultramétrique d’une classe d’isogénie de courbes elliptiques : Le cas de la mauvaise réduction. Application aux hauteurs locales.

Richard, Rodolphe

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 30 (2018) no. 1, pp. 1-18.

Nous nous intéressons à un problème analogue à [3] et à [4], un analogue lui déjà de [2]. Il s’agit de la distribution « galoisienne » d’une classe d’isogénie de courbes elliptiques, dans la courbe modulaire, mais en une place ultramétrique. Nous y répondons ici pour des invariants non entiers ultramétriques : ceux des courbes elliptiques à mauvaise réduction. La démarche adoptée est quantitative via un lien avec les séries de Dirichlet de séries d’Eisenstein. Nous montrons enfin comment appliquer la propriété d’équidistribution à l’asymptotique de la hauteur locale des valeurs de fonctions modulaires $P\in \mathbb{Q}\left(j\right)$ le long d’une classe d’isogénie, sous une hypothèse sur les pôles de $P$.

Nous laissons la gestion des pôles de $P$ et d’un problème inverse, l’équivalence entre asymptotique de hauteurs et équidistribution, à un article ultérieur. De même que les cas des courbes elliptiques à bonne réduction.

The problem we are interested in is an analogue of [3] and of [4], itself an analogue of [2]. It is about “galoisian” equidistribution of an isogeny class of elliptic curves, in the modular curve, but at an ultrametric place. We answer here in the case of non ultrametric invariants: these of elliptic curves with bad reduction. The way chosen here is quantitative through a link with Dirichlet series of Eisenstein series. We show in the end how to apply the equidistribution property to the asymptotic of the local height of the values of modular functions $P\in \mathbb{Q}\left(j\right)$ along a isogeny class, under some hypothesis on the poles of $P$.

We leave the treatment of poles of $P$ and of an inverse problem, equivalence between heights asymptotic and equidistribution, to a later article. As the case of elliptic curves with good reduction.

Classification : 37P50, 11S40, 14G40, 11F32
Mots clés : Modular curve, Berkovich space, Isogeny class, Equidistribution, Hecke orbits, Galois orbit, Dirichlet series, Asymptotic height, Local height

[1] Berkovich, Vladimir G. Spectral theory and analytic geometry over non-Archimedean fields, Mathematical Surveys and Monographs, 33, American Mathematical Society, Providence, RI, 1990, x+169 pages | MR | Zbl

[2] Duke, William Drexel Hyperbolic distribution problems and half-integral weight Maass forms, Invent. Math., Volume 92 (1988) no. 1, pp. 73-90 | DOI | MR | Zbl

[3] Richard, Rodolphe Répartition galoisienne d’une classe d’isogénie de courbes elliptiques, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 347 (2009) no. 3-4, pp. 123-127 | DOI | MR | Zbl

[4] Richard, Rodolphe Répartition galoisienne d’une classe d’isogénie de courbes elliptiques, Int. J. Number Theory, Volume 09 (2013) no. 02, pp. 517-543 http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S1793042112501199 | DOI | MR | Zbl

[5] Serre, Jean-Pierre Propriétés galoisiennes des points d’ordre fini des courbes elliptiques, Invent. Math., Volume 15 (1972) no. 4, pp. 259-331 | DOI | MR | Zbl

[6] Serre, Jean-Pierre Abelian $l$-adic representations and elliptic curves, Advanced Book Classics, Addison-Wesley Publishing Company Advanced Book Program, Redwood City, CA, 1989, xxiv+184 pages (With the collaboration of Willem Kuyk and John Labute) | MR | Zbl

[7] Szpiro, Lucien; Ullmo, Emmanuel Variation de la hauteur de Faltings dans une classe de $\overline{\mathbb{Q}}$-isogénie de courbe elliptique, Duke Math. J., Volume 97 (1999) no. 1, pp. 81-97 | DOI | MR | Zbl

[8] Tate, John A review of non-Archimedean elliptic functions, Elliptic curves, modular forms, Fermat’s last theorem (Hong Kong, 1993) (Series in Number Theory), Volume 1, International Press., 1995, pp. 162-184 | MR | Zbl