Heights and representations of split tori

Talamanca, Valerio

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 30 (2018) no. 1, pp. 41-57.

Soit ${𝔾}_m^d$ le tore déployé de dimension $d$, défini sur un corps de nombres $k$. À chaque ${𝔾}_m^d$-module $E$ nous associons une fonction hauteur $h_E$ définie en utilisant la hauteur spectrale sur $GL\left(E\right)$. Cela donne lieu à un accouplement de hauteur entre le monoïde des ${𝔾}_m^d$-modules irréductible de ${𝔾}_m^d$ et le groupe ${𝔾}_m^d\left(\overline{k}\right)$. Nos résultats principaux sont une caractérisation de ces ${𝔾}_m^d$-modules $E$ pour lequel $h_E$ satisfait le théorème de finitude de Northcott, la détermination des noyaux des accouplements de hauteur, ainsi que, pour quelques classes de ${𝔾}_m^d$-modules $E$, le calcul du groupe des automorphismes qui préservent $h_E$.

Let ${𝔾}_m^d$ denote the $d$-dimensional split torus defined over a number field $k$. To each ${𝔾}_m^d$-module $E$ we associate a height function $h_E$ defined by means of the spectral height on $GL\left(E\right)$. This gives rise to a height pairing between the monoid of irreducible ${𝔾}_m^d$-modules of ${𝔾}_m^d$ and the group ${𝔾}_m^d\left(\overline{k}\right)$. Our main results are a characterization of those ${𝔾}_m^d$-modules $E$ for which $h_E$ satisfeis Northcott’s finiteness theorem, the determination of the kernels of the height pairing, as well as, for a few special classes of ${𝔾}_m^d$-modules, of the group of automorphisms that preserve $h_E$.

Classification : 11G50, 20G30
Mots clés : Heights, split algebraic tori, representations

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