A note on Misiurewicz polynomials

Goksel, Vefa

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 32 (2020) no. 2, pp. 373-385.

Soit $f_{c,d}\left(x\right)=x^d+c\in ℂ\left[x\right]$. On appelle point de Misiurewicz une valeur $c_0$ pour laquelle $f_{c_0,d}$ a une orbite critique finie et strictement pré-périodique. Tout point de Misiurewicz appartient à $\overline{\mathbb{Q}}$. Supposons que les points $c_0,c_1\in \overline{\mathbb{Q}}$ sont tels que les orbites de $f_{c_0,d}$ et de $f_{c_1,d}$ sont du même type. Une question classique est de savoir si $c_0$ et $c_1$ sont nécessairement conjugués sur $\mathbb{Q}$. Récemment, certains progrès ont été réalisés par plusieurs auteurs pour répondre à cette question. Dans cette note, nous démontrons de nouveaux résultats dans le cas où $d$ est un nombre premier. Tous les résultats connus jusqu’à présent portent sur des cas où la période est au plus $3$. En particulier, notre travail est le premier à fournir des informations dans le cas de période plus grande que $3$.

Let $f_{c,d}\left(x\right)=x^d+c\in ℂ\left[x\right]$. The $c_0$ values for which $f_{c_0,d}$ has a strictly pre-periodic finite critical orbit are called Misiurewicz points. Any Misiurewicz point lies in $\overline{\mathbb{Q}}$. Suppose that the Misiurewicz points $c_0,c_1\in \overline{\mathbb{Q}}$ are such that the polynomials $f_{c_0,d}$ and $f_{c_1,d}$ have the same orbit type. One classical question is whether $c_0$ and $c_1$ need to be Galois conjugates or not. Recently there has been partial progress on this question by several authors. In this note, we prove some new results when $d$ is a prime. All the results known so far were in the cases of period at most $3$. In particular, our work is the first to say something provable in the cases of period greater than $3$.

Classification : 11R09, 37P15
Mots clés : iteration, post-critically finite, Misiurewicz point

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