Partitions sans petites parts (II)

Mosaki, Élie

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 20 (2008) no. 2, pp. 431-464.

Let $r(n,m)$ denote the number of partitions of $n$ into parts, each of which is at least $m$, and $R(n,m)=r(n-m,m)$ the number of partitions of $n$ with smallest part $m$. In a precedent paper (see [9]) the asymptotics for $r(n,m)$ is obtained uniformly for $1\le m=O\left(\sqrt{n}\right)$; we complete this asymptotics uniformly for $1\le m=\left(n{log}^{-3}n\right)$. To prolong the results until $m\le n$, we give an estimate for $r(n,m)$ which holds for $n^{2/3}\le m\le n$, by use of the relation $r(n,m)={\sum }_{t=1}^{\lfloor n/m\rfloor }P(n-(m-1)t,t)$, $P(i,t)$ denoting the number of partitions of $i$ into exactly $t$ parts. We also give an elementary combinatorial proof for the decrease of $R(n,m)$ in terms of $m$, $m\le n-1$.

On désigne par $r(n,m)$ le nombre de partitions de l’entier $n$ en parts supérieures ou égales à $m$, et $R(n,m)=r(n-m,m)$ le nombre de partitions de $n$ de plus petite part $m$. Dans un précédent article (voir [9]) un développement asymptotique de $r(n,m)$ est obtenu uniformément pour $1\le m=O\left(\sqrt{n}\right)$ ; on complète ce développement uniformément pour $1\le m=\left(n{log}^{-3}n\right)$. Afin de prolonger les résultats jusqu’à $m\le n$, on donne un encadrement de $r(n,m)$ valable pour $n^{2/3}\le m\le n$ en utilisant la relation $r(n,m)={\sum }_{t=1}^{\lfloor n/m\rfloor }P(n-(m-1)t,t)$ où $P(i,t)$ désigne le nombre de partitions de $i$ en exactement $t$ parts. On donne aussi une preuve combinatoire élémentaire de la décroissance en $m$, $m\le n-1$, de $R(n,m)$.

[1] N. Bourbaki, Fonctions d’une variable réelle. (Théorie élémentaire). Hermann et Cie., Paris, 1951.

[2] L. Comtet, Analyse combinatoire. Tomes I, II. Presses Universitaires de France, Paris, 1970. | MR | Zbl

[3] J. Dixmier, J.L. Nicolas, Partitions sans petits sommants. A tribute to Paul Erdős, 121–152. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1990. | MR | Zbl

[4] J. Dixmier, J.L. Nicolas, Partitions without small parts. Number theory, Vol. I (Budapest, 1987), 9–33, North-Holland, Amsterdam, 1990. | MR | Zbl

[5] P. Erdős, J.L. Nicolas, M. Szalay, Partitions into parts which are unequal and large. Number theory (Ulm, 1987), Lecture Notes in Math., volume 1380, 19–30, Springer, New York, 1989. | MR | Zbl

[6] G. Freiman, J. Pitman, Partitions into distinct large parts. J. Austral. Math. Soc. Ser. A 57(3) (1994), 386–416. | MR | Zbl

[7] G. H. Hardy, Orders of infinity. The Infinitärcalcül of Paul du Bois-Reymond. Hafner Publishing Co., New York, 1971. | MR

[8] É. Mosaki, Partitions sans petits sommants. Thèse de l’Université Lyon 1 .

[9] É. Mosaki, J.-L. Nicolas, A. Sárközy, Partitions sans petites parts. J. de Théorie des Nombres de Bordeaux 16 (2004), 607–638. | Numdam | MR | Zbl

[10] J.-L. Nicolas, A. Sárközy, On partitions without small parts. J. de Théorie des Nombres de Bordeaux 12 (2000), 227–254. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[11] G. Szekeres, An asymptotic formula in the theory of partitions. Quart. J. Math., Oxford 2 (1951), 85–108. | MR | Zbl

[12] G. Szekeres, Some asymptotic formulae in the theory of partitions. II. Quart. J. Math., Oxford 4 (1953), 96–111. | MR | Zbl