Nombres de Pisots, matrices primitives et bêta-conjugués
[Pisot numbers, primitive matrices and beta-conjugates]
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 24 (2012) no. 1, pp. 57-72.

We show that given a Pisot number β, for any integer n large enough, there is a nonnegative primitive square matrix whose order is equal to the degree of β, and the matrix admits β n for eingenvalue.

Let β=a 1 /β+a 2 /β 2 ++a n /β n + be the β-expansion of β. For any Pisot number β, the sequence (a n ) n1 is ultimately periodic i.e., for nn 0 , a n+k =a n , and we call Parry polynomial the polynomial

X n 0 +k -(a 1 X n 0 +k-1 ++a n 0 +k )-(X n 0 -(a 1 X n 0 ++a n 0 )).

We also show that there is a relatively dense set of integers n such that the minimal polynomial of β n is equal to its Parry polynomial.

Soit β un nombre de Pisot ; nous montrons que pour tout entier n assez grand il existe une matrice carrée à coefficients positifs ou nuls dont l’ordre est égal au degré de β et dont β n est valeur propre.

Soit β=a 1 /β+a 2 /β 2 ++a n /β n + le β-développement de β ; si β est un nombre de Pisot, alors la suite (a n ) n1 est périodique après un certain rang n 0 (pour nn 0 , a n+k =a n ) et le polynôme

X n 0 +k -(a 1 X n 0 +k-1 ++a n 0 +k )-(X n 0 -(a 1 X n 0 ++a n 0 ))

est appelé polynôme de Parry. Nous montrons qu’il existe un ensemble relativement dense d’entiers n tels que le polynôme minimal de β n est égal à son polynôme de Parry.

DOI: 10.5802/jtnb.788
Classification: 11C99, 15A18, 15A36, 15A48, 37B10
Keywords: Primitive matrices, Pisot Numbers, numeration, symbolic dynamics.
Bertrand-Mathis, Anne 1

1 Université de Poitiers Mathématiques BP 30179 86962 Futuroscope cedex, France
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Bertrand-Mathis, Anne. Nombres de Pisots, matrices primitives et bêta-conjugués. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 24 (2012) no. 1, pp. 57-72. doi : 10.5802/jtnb.788. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.788/

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