From a paper by A. Angelakis and P. Stevenhagen on the determination of a family of imaginary quadratic fields having isomorphic absolute Abelian Galois groups , we study any such issue for arbitrary number fields . We show that this kind of property is probably not easily generalizable, apart from imaginary quadratic fields, because of some -adic obstructions coming from the global units of . By restriction to the -Sylow subgroups of and assuming the Leopoldt conjecture we show that the corresponding study is related to a generalization of the classical notion of -rational field that we deepen, including numerical viewpoint for quadratic fields.
However we obtain (Theorems 2.1 and 3.1) non-trivial information about the structure of , for any number field , by application of results of our book on the -adic global class field theory.
A partir d’un article de A. Angelakis et P. Stevenhagen sur la détermination d’une famille de corps quadratiques imaginaires ayant des groupes de Galois Abéliens absolus isomorphes, nous étudions une telle question pour les corps de nombres quelconques. Nous montrons que ce type de propriété n’est probablement pas facilement généralisable, en dehors des corps quadratiques imaginaires, en raison d’obstructions -adiques provenant des unités globales de . En se restreignant aux -sous-groupes de Sylow de et en admettant la conjecture de Leopoldt nous montrons que l’étude correspondante est liée à une généralisation de la notion classique de corps -rationnel que nous approfondissons, y compris au point de vue numérique pour les corps quadratiques.
Cependant nous obtenons (Théorèmes 2.1 et 3.1) des informations non triviales sur la structure de , pour tout corps de nombres , par application de résultats de notre livre sur la théorie -adique du corps de classes global.
Keywords: Class field theory, Abelian closures of number fields, $p$-ramification, $p$-rational fields, Abelian profinite groups, Group extensions
@article{JTNB_2014__26_3_635_0, author = {Gras, Georges}, title = {On the structure of the {Galois} group of the {Abelian} closure of a number field}, journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux}, pages = {635--654}, publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux}, volume = {26}, number = {3}, year = {2014}, doi = {10.5802/jtnb.883}, mrnumber = {3320496}, language = {en}, url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.883/} }
TY - JOUR AU - Gras, Georges TI - On the structure of the Galois group of the Abelian closure of a number field JO - Journal de théorie des nombres de Bordeaux PY - 2014 SP - 635 EP - 654 VL - 26 IS - 3 PB - Société Arithmétique de Bordeaux UR - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.883/ DO - 10.5802/jtnb.883 LA - en ID - JTNB_2014__26_3_635_0 ER -
%0 Journal Article %A Gras, Georges %T On the structure of the Galois group of the Abelian closure of a number field %J Journal de théorie des nombres de Bordeaux %D 2014 %P 635-654 %V 26 %N 3 %I Société Arithmétique de Bordeaux %U http://archive.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.883/ %R 10.5802/jtnb.883 %G en %F JTNB_2014__26_3_635_0
Gras, Georges. On the structure of the Galois group of the Abelian closure of a number field. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 26 (2014) no. 3, pp. 635-654. doi : 10.5802/jtnb.883. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.883/
[1] A. Angelakis and P. Stevenhagen, Absolute abelian Galois groups of imaginary quadratic fields, In: proceedings volume of ANTS-X, UC San Diego 2012, E. Howe and K. Kedlaya (eds), OBS 1 (2013).
[2] A. Charifi, Groupes de torsion attachés aux extensions Abéliennes -ramifiées maximales (cas des corps totalement réels et des corps quadratiques imaginaires), Thèse de cycle, Mathématiques, Université de Franche-Comté (1982), 50 pp.
[3] J. Coates, -adic -functions and Iwasawa’s theory, In: Proc. Durham Symposium 1975, New York-London (1977), 269–353. | MR | Zbl
[4] G. Gras et J-F. Jaulent, Sur les corps de nombres réguliers, Math. Z. 202, (1989), 3, 343–365. | MR | Zbl
[5] G. Gras, Class Field Theory: from theory to practice, SMM, Springer-Verlag 2003, second corrected printing (2005). | MR | Zbl
[6] G. Gras, Remarks on of number fields, Jour. Number Theory 23, (1986), 3, 322–335. | MR | Zbl
[7] G. Gras, Sur les -extensions d’un corps quadratique imaginaire, Ann. Inst. Fourier, 33, (1983), 4, 1–18. | Numdam | MR | Zbl
[8] K. Hatada, Mod 1 distribution of Fermat and Fibonacci quotients and values of zeta functions at , Comment. Math. Univ. St. Paul. 36, (1987), 1, 41–51. | MR | Zbl
[9] J-F. Jaulent, Théorie -adique globale du corps de classes, J. Théorie des Nombres de Bordeaux 10, (1998), 2, 355–397. | Numdam | MR | Zbl
[10] J-F. Jaulent et T. Nguyen Quang Do, Corps -rationnels, corps -réguliers et ramification restreinte, J. Théorie des Nombres de Bordeaux 5, (1993), 2, 343–363. | Numdam | MR | Zbl
[11] H. Koch, (Parshin, A.N., Šafarevič, I.R., and Gamkrelidze, R.V., Eds.), Number theory II, Algebraic number theory, Encycl. of Math. Sci., vol. 62, Springer-Verlag 1992; second printing: Algebraic Number Theory, Springer-Verlag 1997. | MR | Zbl
[12] T. Kubota, Galois group of the maximal abelian extension of an algebraic number field, Nagoya Math. J. 12, (1957), 177–189. | MR | Zbl
[13] A. Movahhedi et T. Nguyen Quang Do, Sur l’arithmétique des corps de nombres -rationnels, Sém. Théorie des Nombres, Paris (1987/89), Progress in Math. 81, Birkhäuser (1990), 155–200. | MR | Zbl
[14] W. Narkiewicz, Elementary and analytic theory of algebraic numbers, P.W.N. 1974; second revised and extended edition: P.W.N. and Springer-Verlag 1990; third edition: Springer Monographs in Math., Springer-Verlag 2004. | MR | Zbl
[15] M. Onabe, On the isomorphisms of the Galois groups of the maximal Abelian extensions of imaginary quadratic fields, Natur. Sci. Rep. Ochanomizu Univ. 27, (1976), 2, 155–161. | MR | Zbl
[16] Pari/gp, Version 2.5.3, K. Belabas and al., Laboratoire A2X, Université de Bordeaux I.
[17] F. Pitoun and F. Varescon, Computing the torsion of the -ramified module of a number field, Math. Comp., published electronically (2014), 84, (2015), 371–383. | MR
[18] J-P. Serre, Sur le résidu de la fonction zêta -adique d’un corps de nombres, C.R. Acad. Sci. Paris 287, (1978), Série I, 183–188. | MR | Zbl
Cited by Sources: