Confluent Parry numbers, their spectra, and integers in positive- and negative-base number systems
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 27 (2015) no. 3, pp. 745-768.

Nous étudions le développement des nombres réels en bases positive et negative, suivant les travaux de Rényi, et Ito & Sadahiro. Nous comparons les ensembles β + et -β des nombres β-entiers non-negatifs et (-β)-entiers. Nous décrivons les bases (±β) pour lesquelles β + et -β sont codés par des mots infinis qui sont des points fixes de morphismes conjugés. De plus, nous démontrons que cela se produit précisement pour les nombres β ayant la propriété suivante : toute combinaison linéaire de puissances non-négatives de la base -β, à coefficients dans {0,1,,β}, correspond à un (-β)-entier, même si la suite donnée de chiffres est interdite comme (-β)-développement.

In this paper we study the expansions of real numbers in positive and negative real base as introduced by Rényi, and Ito & Sadahiro, respectively. In particular, we compare the sets β + and -β of nonnegative β-integers and (-β)-integers. We describe all bases (±β) for which β + and -β can be coded by infinite words which are fixed points of conjugated morphisms, and consequently have the same language. Moreover, we prove that this happens precisely for β with another interesting property, namely that any linear combination of non-negative powers of the base -β with coefficients in {0,1,,β} is a (-β)-integer, although the corresponding sequence of digits is forbidden as a (-β)-expansion.

DOI : 10.5802/jtnb.922
Classification : 11A63, 68R15
Mots clés : $(-\beta )$-expansion, $(-\beta )$-integer, confluent Parry number, spectrum, antimorphism, conjugacy.
Dombek, Daniel 1 ; Masáková, Zuzana 2 ; Vávra, Tomáš 2

1 Faculty of Information Technology Czech Technical University in Prague Thákurova 9, 160 00 Praha 6 CZECH REPUBLIC
2 Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague Trojanova 13, 120 00 Praha 2 CZECH REPUBLIC
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Dombek, Daniel; Masáková, Zuzana; Vávra, Tomáš. Confluent Parry numbers, their spectra,  and integers in positive- and negative-base  number systems. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 27 (2015) no. 3, pp. 745-768. doi : 10.5802/jtnb.922. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.922/

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