The Nash-Kuiper process for curves
[Le procédé de Nash-Kuiper pour les courbes]
Séminaire de théorie spectrale et géométrie, Tome 30 (2011-2012), pp. 1-19.

Un plongement strictement court est un plongement d’une variété riemannienne dans un espace Euclidien qui réduit strictement les distances. À partir d’un tel plongement, le procédé de Nash-Kuiper construit une suite d’applications convergeant vers un plongement isométrique. Dans cet article, nous donnons une description du procédé de Nash-Kuiper dans le cas des courbes. Nous établissons une formule explicite pour l’application normale limite et nous effectuons sa décomposition en série de Fourier. Nous nous intéressons ensuite à la régularité holdérienne de l’application limite.

A strictly short embedding is an embedding of a Riemannian manifold into an Euclidean space that strictly shortens distances. From such an embedding, the Nash-Kuiper process builds a sequence of maps converging toward an isometric embedding. In that paper, we describe this Nash-Kuiper process in the case of curves. We state an explicit formula for the limit normal map and perform its Fourier series expansion. We then adress the question of Holder regularity of the limit map.

DOI : 10.5802/tsg.288
Classification : 53A04, 53C21, 53C42
Keywords: convex integration, isometric embedding Riesz product
Mot clés : intégration convexe, Plongement isometrique, Produit de Riesz.
Borrelli, Vincent 1 ; Jabrane, Saïd 1 ; Lazarus, Francis 2 ; Thibert, Boris 3

1 Institut Camille Jordan, Université Lyon I, Villeurbanne, France
2 CNRS, GIPSA-Lab, Université de Grenoble, France
3 Laboratoire Jean Kuntzmann, Université de Grenoble, France
@article{TSG_2011-2012__30__1_0,
     author = {Borrelli, Vincent and Jabrane, Sa{\"\i}d and Lazarus, Francis and Thibert, Boris},
     title = {The {Nash-Kuiper} process for curves},
     journal = {S\'eminaire de th\'eorie spectrale et g\'eom\'etrie},
     pages = {1--19},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {30},
     year = {2011-2012},
     doi = {10.5802/tsg.288},
     language = {en},
     url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/tsg.288/}
}
TY  - JOUR
AU  - Borrelli, Vincent
AU  - Jabrane, Saïd
AU  - Lazarus, Francis
AU  - Thibert, Boris
TI  - The Nash-Kuiper process for curves
JO  - Séminaire de théorie spectrale et géométrie
PY  - 2011-2012
SP  - 1
EP  - 19
VL  - 30
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/tsg.288/
DO  - 10.5802/tsg.288
LA  - en
ID  - TSG_2011-2012__30__1_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Borrelli, Vincent
%A Jabrane, Saïd
%A Lazarus, Francis
%A Thibert, Boris
%T The Nash-Kuiper process for curves
%J Séminaire de théorie spectrale et géométrie
%D 2011-2012
%P 1-19
%V 30
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U http://archive.numdam.org/articles/10.5802/tsg.288/
%R 10.5802/tsg.288
%G en
%F TSG_2011-2012__30__1_0
Borrelli, Vincent; Jabrane, Saïd; Lazarus, Francis; Thibert, Boris. The Nash-Kuiper process for curves. Séminaire de théorie spectrale et géométrie, Tome 30 (2011-2012), pp. 1-19. doi : 10.5802/tsg.288. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/tsg.288/

[1] Abramowitz, M.; Stegun, I. Handbook of Mathematical Functions, Dover, 1965

[2] Borisov, J. C 1,α -isometric immersions of Riemmannian spaces, Dokl. Akad. Nauk. SSSR, Volume 163 (1965), pp. 11-13 translation in Soviet. Math. Dokl. 6 (1965), 869-871 | MR | Zbl

[3] Borisov, J. Irregular C 1,β -surfaces with an analytic metric, Siberian Math. J., Volume 45 (2004), pp. 19-52 | MR | Zbl

[4] Borrelli, V.; Jabrane, S.; Lazarus, F.; Thibert, B. Flat tori in three-dimensional space and convex integration (PNAS 2012), Volume 109, pp. 7218-7223

[5] Cartan, E. Sur la possibilité de plonger un espace riemannien donné dans un espace euclidien, Ann. Soc. Pol. Math., Volume 6 (1927), pp. 1-7

[6] Conti, S.; De Lellis, C.; L., Székelyhidin H-principle and rigidity for C 1,α -isometric embeddings (to appear in the Proceedings of the Abel Symposium 2010, arXiv:0905.0370v1)

[7] Eliahsberg, Y.; Mishachev, N. Introduction to the h-principle, Graduate Studies in Mathematics, 48, AMS, Providence, 2002 | Zbl

[8] Falconer, K. Fractal Geometry, Wiley, 2003 | MR | Zbl

[9] Gromov, M. Partial Differential Relations, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], 9, Springer-Verlag, Berlin, 1986 | MR | Zbl

[10] Günther, M. On the pertubation problem associated to isometric embeddings of Riemannian manifolds, Ann. Global Anal. Geom., Volume 7 (1989), pp. 69-77 | MR | Zbl

[11] Janet, M. Sur la possibilité de plonger un espace riemannien donné dans un espace euclidien, Ann. Soc. Pol. Math., Volume 5 (1926), pp. 38-43

[12] Kahane, J.-P. Jacques Peyrière et les produits de Riesz (arXiv.org/abs/ 1003.4600v1)

[13] Kuiper, N. On C 1 -isometric imbeddings, Indag. Math., Volume 17 (1955), pp. 545-556 | MR | Zbl

[14] Nash, J. C 1 -isometric imbeddings, Ann. of Math. (2), Volume 60 (1954), pp. 383-396 | MR | Zbl

[15] Nash, J. The imbedding problem for Riemannian manifolds, Ann. of Math. (1), Volume 63 (1956), pp. 20-63 | MR | Zbl

[16] Spring, D. Convex Integration Theory, Bikhauser, 1998 | MR | Zbl

[17] Watson, G. N. A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press, 1995 | MR | Zbl

Cité par Sources :