Le théorème d’ergodicité quantique

Anantharaman, Nalini

Journées mathématiques X-UPS, Chaos en mécanique quantique (2014), pp. 113-162.

Ce texte contient la preuve du théorème principal de cette série d’exposés. Le « théorème d’ergodicité quantique » est dû à A. Shnirelman (1974) avec des preuves plus détaillées de S. Zelditch et Y. Colin de Verdière en 1985. Sur certaines variétés ou dans certains ouverts du plan, ce théorème permet d’affirmer que la plupart des fonctions propres du laplacien sont « uniformément » distribuées. En mécanique quantique, cela correspondrait à des fonctions d’ondes complètement délocalisées. Je montrerai l’argument détaillé sur le tore ${ℝ}^d/{\mathbb{Z}}^d$ (ce n’est pas le cadre habituel du théorème mais cela permet de travailler dans un langage simple sans parler de variétés). Ensuite je passerai au cadre des variétés plus générales : une fois les objets définis, la preuve est exactement la même que sur le tore. On comparera avec le cas des fonctions propres de la sphère, qui au contraire peuvent être très localisées, et on énoncera la « conjecture d’Unique Ergodicité Quantique », dont la résolution partielle a valu la médaille Fields à E. Lindenstrauss en 2010.

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