Une introduction aux périodes

Fresán, Javier

Journées mathématiques X-UPS, Périodes et transcendance (2019), pp. 1-154.

Les périodes sont des nombres complexes dont la partie réelle et la partie imaginaire s’écrivent comme des intégrales d’une fonction rationnelle sur un domaine défini par des inégalités polynomiales, le tout à coefficients rationnels. Selon une conjecture de Kontsevich et Zagier, n’importe quelle relation algébrique entre ces nombres devrait pouvoir se déduire des règles évidentes du calcul intégral : l’additivité, le changement de variables et la formule de Stokes. Dans un premier temps, j’explique la définition des périodes et quelques propriétés élémentaires qui s’ensuivent, en les illustrant par maints exemples. Ensuite, je me dirige doucement vers l’interprétation de ces nombres comme les coefficients de l’accouplement d’intégration entre la cohomologie de de Rham algébrique et l’homologie singulière des variétés algébriques définies sur $\mathbf{Q}$, point de vue qui est à l’origine de toutes les percées récentes dans leur étude.

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