Valeurs zêta multiples

Dupont, Clément

Journées mathématiques X-UPS, Périodes et transcendance (2019), pp. 155-195.

Les valeurs zêta multiples forment une famille de constantes mathématiques fondamentales qui contient notamment les valeurs aux entiers de la fonction zêta de Riemann. Si Euler leur a consacré des travaux, c’est seulement à la fin du xx^e siècle que mathématiciens et physiciens ont réalisé l’importance de ces nombres qui apparaissent naturellement dans des situations variées. Des travaux récents (Goncharov, Deligne, Brown…) ont mis en évidence une structure cachée qui est révélée par la géométrie : une théorie de Galois des valeurs zêta multiples. L’étude de cette structure a permis de prouver des résultats spectaculaires sur les relations algébriques satisfaites par ces nombres, que nous présenterons. Nous discuterons enfin de l’apparition des valeurs zêta multiples en physique des particules à travers le calcul d’intégrales de Feynman.

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