The notion of complete reducibility of a linear representation can be defined in terms of the action of on the Tits building of . An analogous definition can be given for any reductive group. We shall see how this translates in topological terms, and what applications can be obtained.
La notion de complète réductibilité d’une représentation linéaire peut se définir en termes de l’action de sur l’immeuble de Tits de . Cela suggère une notion analogue pour tous les immeubles sphériques, et donc aussi pour tous les groupes réductifs. On verra comment cette notion se traduit en termes topologiques et quelles applications on peut en tirer.
Mot clés : groupes réductifs, immeubles sphériques, complète réductibilité
Keywords: reductive groups, spherical buildings, complete reducibility
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Serre, Jean-Pierre. Complète réductibilité, in Séminaire Bourbaki : volume 2003/2004, exposés 924-937, Astérisque, no. 299 (2005), Talk no. 932, pp. 195-217. http://archive.numdam.org/item/SB_2003-2004__46__195_0/
[AS86] Chevalley groups of type as the group of a trilinear form. J. Algebra, 109 :193-259, 1986. | MR | Zbl
.[BMR04] A geometric approach to complete reducibility. preprint, Univ. Birmingham 2004 ; à paraître dans Invent. math. | MR | Zbl
, , and .[BT65] Groupes réductifs. Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci., 27 :55-150, 1965. | Numdam | MR | Zbl
and .[BT71] Éléments unipotents et sous-groupes paraboliques de groupes réductifs I. Invent. math., 12 :95-104, 1971. | MR | Zbl
and .[Br89] Buildings. Springer-Verlag, 1989. | MR | Zbl
.[Ch55] Théorie des Groupes de Lie, volume III. Hermann, Paris, 1955. | MR | Zbl
.[DG70] Structure des schémas en groupes réductifs (SGA 3 III), volume 153 of Lect. Notes in Math. Springer-Verlag, 1970. | Zbl
and .[Dy52] Sous-groupes maximaux des groupes classiques. Trudy Moskov. Mat. Obshch., 1 :39-116 (en russe), 1952. trad. anglaise : Selected Papers, American Mathematical Society, 2000, p. 37-170.
.[Gu99] Small representations are completely reducible. J. Algebra, 220 :531-541, 1999. | MR | Zbl
.[IMP03] Semistability and semisimplicity in representations of low height in positive characteristic. In V. Lakshmibai et al., editors, A Tribute to C.S. Seshadri. Hindustani Book Ag., New Delhi, 2003. | MR | Zbl
, , and .[JLPW95] An atlas of Brauer characters. LMS Monographs. Clarendon Press, Oxford, 1995. | MR | Zbl
, , , and .[Ja97] Low dimensional representations of reductive groups are semisimple. In Algebraic Groups and Lie Groups, pages 255-266. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997. | MR | Zbl
.[Ke78] Instability in invariant theory. Ann. of Math., 108 :299-316, 1978. | MR | Zbl
.[LS96] Reductive Subgroups of Exceptional Algebraic Groups, volume 580 of Mem. Amer. Math. Soc. American Mathematical Society, 1996. | MR | Zbl
and .[Ma03a] Reductive subgroups of reductive groups in nonzero characteristic. J. Algebra, 262 :265-286, 2003. | MR | Zbl
.[Ma03b] A normal subgroup of a strongly reductive subgroup is strongly reductive. J. Algebra, 265 :669-674, 2003. | MR | Zbl
.[Mc98] Dimensional criteria for semisimplicity of representations. Proc. London Math. Soc. (3), 76 :95-149, 1998. | MR | Zbl
.[Mc00] Semisimplicity of exterior powers of semisimple representations of groups. J. Algebra, 225 :646-666, 2000. | MR | Zbl
.[Mo56] Fully reducible subgroups of algebraic groups. Amer. J. Math., 78 :200-221, 1956. | MR | Zbl
.[Mu65] Geometric Invariant Theory. Springer-Verlag. 1965 ; third enlarged edit. (D. Mumford, J. Fogarty, F. Kirwan), 1994. | MR | Zbl
.[Mue97] Complete reducibility in projective spaces and polar spaces. preprint, Dortmund, 1997.
.[No87] On subgroups of . Invent. math., 88 :257-275, 1987. | MR | Zbl
.[Ri88] Conjugacy classes of -tuples in Lie algebras and algebraic groups. Duke Math. J., 57 :1-35, 1988. | MR | Zbl
.[Ron89] Lectures on Buildings. Acad. Press, San Diego, 1989. | MR | Zbl
.[Rou78] Immeubles sphériques et théorie des invariants. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., 286 :247-250, 1978. | MR | Zbl
.[Sei00] Unipotent elements, tilting modules, and saturation. Invent. math., 141 :467-502, 2000. | MR | Zbl
.[Se94] Sur la semi-simplicité des produits tensoriels de représentations de groupes. Invent. math., 116 :513-530, 1994. volume dédié à Armand Borel. | MR | Zbl
.[Se97a] Semisimplicity and tensor products of group representations : converse theorems. J. Algebra, 194 :496-520, 1997. with an Appendix by Walter Feit. | MR | Zbl
.[Se97b] La notion de complète réductibilité dans les immeubles sphériques et les groupes réductifs. Séminaire au Collège de France, 1997, résumé dans [Ti97], p. 93-98.
.[Se98] The notion of complete reducibility in group theory. In Moursund Lectures Part II (Eugene, 1998). Notes by W.E. Duckworth, http://darkwing.uoregon.edu/~math/serre/index.html.
.[So69] The Steinberg character of a finite group with BN-pair. In Theory of Finite Groups, pages 213-221. Benjamin, 1969. | MR | Zbl
.[Te95] -type overgroups of elements of order in semisimple algebraic groups and the associated finite groups. J. Algebra, 177 :34-76, 1995. | MR | Zbl
.[Ti74] Buildings of spherical type and finite BN-pairs, volume 386 of Lect. Notes in Math. Springer-Verlag, 1974. | MR | Zbl
.[Ti97] Résumé des cours de 1996-1997. In Annuaire du Collège de France, volume 97, pages 89-102. 1997.
. and .