Méthodes géométriques dans l'étude des équations d'Einstein
Séminaire Bourbaki : volume 2003/2004, exposés 924-937, Astérisque, no. 299 (2005), Exposé no. 934, pp. 249-265.

L'étude de l'équation des ondes et de ses perturbations a montré l'importance d'un certain nombre d'objets géométriques, tels que les cônes sortants et rentrants, les champs de Lorentz, des repères isotropes adaptés, etc. Parmi les systèmes d'équations hyperboliques non linéaires, les équations d'Einstein jouent un rôle central ; leur étude a nécessité, dans le cas d'un espace-temps courbe, la construction d'objets analogues à ceux du cas plat, cônes, repères adaptés, etc. La construction de ces objets en même temps que la solution est au cœur des travaux sur le problème de Cauchy en relativité générale, et fait l'objet de l'exposé.

The study of the wave equation and its perturbations has shown the importance of geometric objects such as outgoing and incoming cones, Lorentz fields, adapted null frames, etc. Among nonlinear hyperbolic systems, Einstein equations play a central role; to study them on a curved background, one has to construct objects analogous to those of the flat case, cones, null frames, etc. These objects are constructed simultaneously with the solution, and this is the heart of the study of the Cauchy problem in general relativity, which is the subject of this conference.

Classification : 35L60, 35L70, 35Q75
Mot clés : Équations d'Einstein, équation des ondes, inégalité d'énergie, fonction optique
Keywords: Einstein equations, wave equation, energy inequality, optical function 
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[1] H. Bahouri & J.-Y. Chemin - “Équations d'ondes quasi-linéaires et effet dispersif”, Internat. Math. Res. Notices 21 (1999), p. 1141-1178. | MR | Zbl

[2] H. Bahouri & J.-Y. Chemin - “Équations d'ondes quasi-linéaires et estimations de Strichartz”, Amer. J. Math. 121 (1999), p. 1337-1377. | MR | Zbl

[3] J.-P. Bourguignon - “Stabilité par déformation non-linéaire de la métrique de Minkowski”, in Sém. Bourbaki 1990/91, Astérisque, vol. 201-202-203, Société Mathématique de France, 1991, Exp. no 740, p. 321-358. | Numdam | MR | Zbl

[4] J.-Y. Chemin - “Explosion géométrique pour certaines équations d'ondes non linéaires”, in Sém. Bourbaki, 1998/99, Astérisque, vol. 266, Société Mathématique de France, 2000, Exp. no 850, p. 7-20. | Numdam | MR | Zbl

[5] D. Christodoulou & S. Klainerman - “Asymptotic properties of linear field equations in Minkowski space”, Comm. Pure Appl. Math. XLIII (1990), p. 137-199. | MR | Zbl

[6] -, The global nonlinear stability of the Minkowski space, Princeton Math. Series, vol. 41, Princeton University Press, 1993. | MR | Zbl

[7] L. Hörmander - Lectures on Nonlinear Hyperbolic Equations, Math. Appl., vol. 26, Springer-Verlag, 1987.

[8] S. Klainerman - “A commuting vector field approach to Strichartz type inequalities and applications to quasilinear wave equations”, Internat. Math. Res. Notices 5 (2001), p. 221-274. | MR | Zbl

[9] S. Klainerman & F. Nicolò - The evolution problem in general relativity, Prog. Math. Physics, vol. 25, Birkhäuser, 2003. | MR | Zbl

[10] S. Klainerman & I. Rodniansky - “Improved local well posedness for quasilinear wave equations in dimension three”, Duke Math. J. 117 (2003), p. 1-124. | MR | Zbl

[11] -, “Rough solutions of the Einstein vacuum equations”, Ann. of Math. (to appear).

[12] -, “The causal structure of microlocalized, rough, Einstein metrics”, Ann. of Math. (to appear). | Zbl

[13] -, “Ricci defects of microlocalized Einstein metrics”, J Nonlinear Hyp. Eq. (to appear).

[14] -, “Causal geometry of Einstein-vacuum spacetimes with finite curvature flux”, Invent. Math. (to appear). | MR | Zbl

[15] -, “A geometric theory of Littlewood-Paley theory”, preprint, 2003.

[16] -, “Sharp trace theorems for null hypersurfaces on Einstein metrics with finite curvature flux”, preprint, 2003. | MR | Zbl

[17] H. Lindblad & I. Rodniansky - “Global Existence for the Einstein vacuum equations in wave coordinates”, preprint, 2003. | Zbl