Étant donnée une fonction régulière de moyenne nulle sur le tore de dimension , il est facile de voir que ses intégrales ergodiques au-dessus d’un flot de translation “générique”sont bornées. Il y a une dizaine d’années, A. Zorich a observé numériquement une croissance en puissance du temps de ces intégrales ergodiques au-dessus de flots d’hamiltoniens (non-exacts) “génériques”sur des surfaces de genre supérieur ou égal à , et Kontsevich et Zorich ont proposé une explication (conjecturelle) de ce phénomène par l’analyse du flot de Teichmüller sur l’espace des modules des différentielles abéliennes. Le but de l’exposé est de présenter quelques idées de la preuve que G. Forni a donnée de la conjecture de Kontsevich et Zorich.
Given a regular function with zero mean on the -dimensional torus, it is not difficult to see that its ergodic averages above a “generic” translation of the torus are bounded. A decade ago, A. Zorich observed numerically a power law growth of these ergodic averages above generic non exact hamiltonian flows on higher genus surfaces and Kontsevich and Zorich proposed an explanation of this phenomenon by analysing the Teichmüller flow on the moduli space of abelian differentials. We intend to give in the present talk an exposition of some of the ideas of Giovanni Forni’s proof of the Kontsevich-Zorich conjecture.
Mot clés : moyennes ergodiques, espace des modules, différentielles quadratiques, théorème d'Oseledec, exposants de Lyapunov, courants, théorie de Hodge, matrice des périodes
Keywords: ergodic means, moduli spaces, quadratic differentials, Oseledec theorem, Lyapunov exponents, currents, Hodge theory, period matrix
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Krikorian, Raphaël. Déviations de moyennes ergodiques, flots de Teichmüller et cocycle de Kontsevich-Zorich, dans Séminaire Bourbaki : volume 2003/2004, exposés 924-937, Astérisque, no. 299 (2005), Exposé no. 927, pp. 59-93. http://archive.numdam.org/item/SB_2003-2004__46__59_0/
[1] - “Ergodicité générique des billards polygonaux [d'après Kerchoff, Masur, Smillie]”, in Sém. Bourbaki (1987/88), Astérisque, vol. 161-162, Société Mathématique de France, 1988, p. 202-221. | Numdam | Zbl
[2] - Variété différentiables, formes, courants, formes harmoniques, Actualités Scientifiques et Industrielles, vol. 1222b, Hermann, Paris, 1973. | Zbl
[3] , & - Travaux de Thurston sur les surfaces, Séminaire Orsay, Astérisque, vol. 66-67, Société Mathématique de France, 1979. | Numdam | MR | Zbl
[4] - “Solution of the cohomological equation for area-preserving flows on compact surfaces of higher genus”, Ann. of Math. 146 (1997), p. 295-344. | MR | Zbl
[5] -, “Deviation of ergodic averages for area preserving flows on surfaces of higher genus”, Ann. of Math. 155 (2002), p. 1-103. | MR | Zbl
[6] - “Infinitesimal Lyapunov functions, invariant cones families and stochastic properties of smooth dynamical systems”, Ergodic Theory Dynamical Systems 14 (1994), p. 757-785, with the collaboration of K. Burns. | MR | Zbl
[7] & - Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995. | MR | Zbl
[8] , & - “Erodicity of Billard flows and Quadratic Differentials”, Ann. of Math. 124 (1986), p. 293-311. | MR | Zbl
[9] - “Lyapunov exponents and Hodge Theory”, in The Mathematical Beauty of Physics (Saclay, 1996), Adv. Ser. Math. Phys., vol. 24, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1997, p. 318-332. | MR | Zbl
[10] & - “Lyapunov exponents and Hodge Theory”, arXiv : hep-th/9701164v1, 1997. | MR
[11] , & - “The cohomological equation for Roth type interval exchange map”, preprint arXiv : math.DS/0403518v1, 30 mars 2004. | MR | Zbl
[12] - “Interval exchange transformations and measured foliations”, Ann. of Math. 115 (1982), p. 169-200. | MR | Zbl
[13] -, “Logarithmic law for geodesics in moduli space”, in Mapping Class Groups and Moduli Spaces of Riemann Surfaces (Göttingen, 1991/ Seattle, WA, 1991), Contemp. Math., vol. 150, American Mathematical Society, Providence, RI, 1993, p. 229-245. | MR | Zbl
[14] - Théorie des distributions, Hermann, Paris, 1966. | MR | Zbl
[15] - “Gauss measures for transformations on the space of interval exchange maps”, Ann. of Math. 115 (1982), p. 201-242. | MR | Zbl
[16] -, “The Teichmüller geodesic flow”, Ann. of Math. 124 (1986), p. 441-530. | Zbl
[17] - “Invariant family of cones and Lyapunov exponents”, Ergodic Theory Dynamical Systems 5 (1985), p. 145-161. | MR | Zbl
[18] - “Finite Gauss measure on the space of interval exchange transformations. Lyapunov exponents”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 46 (1996), p. 325-370. | Numdam | MR | Zbl
[19] -, “Deviation for interval exchange transformation”, Ergodic Theory Dynamical Systems 17 (1997), p. 1477-1499. | MR | Zbl
