Weyl law for semi-classical resonances with randomly perturbed potentials

Weyl law for semi-classical resonances with randomly perturbed potentials
[Loi de Weyl pour des résonances semi-classiques associées aux potentiels avec perturbations aléatoires]

Sjöstrand, Johannes

Mémoires de la Société Mathématique de France, no. 136 (2014) , 150 p.

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Résumé
Abstract

On considère des opérateurs de Schrödinger dont les potentiels ont leur supports dans un ensemble strictement convexe à bord lisse $𝒪 ⋐ ℝ^{n}$ . En désignant par $h$ le paramètre semi-classique, nous considérons des classes de petites perturbations aléatoires et montrons qu’avec une probabilité très proche de 1, le nombre de résonances dans des rectangles $[a, b] - i [0, c h^{\frac{2}{3}} [$ est égal (à un petit reste près) au nombre de valeurs propres dans $[a, b]$ de la réalisation de Dirichlet de l’opérateur dans $𝒪$ .

We consider semi-classical Schrödinger operators with potentials supported in a bounded strictly convex subset $𝒪$ of $ℝ^{n}$ with smooth boundary. Letting $h$ denote the semi-classical parameter, we consider classes of small random perturbations and show that with probability very close to 1, the number of resonances in rectangles $[a, b] - i [0, c h^{\frac{2}{3}} [$ , is equal to the number of eigenvalues in $[a, b]$ of the Dirichlet realization of the unperturbed operator in $𝒪$ up to a small remainder.

MR Zbl

DOI : 10.24033/msmf.446

Classification : 81U99, 35P20, 35P25
Keywords: Resonance, Weyl law, Random
Mot clés : résonance, loi de Weyl, aléatoire

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Sjöstrand, Johannes. Weyl law for semi-classical resonances with randomly perturbed potentials. Mémoires de la Société Mathématique de France, Série 2, no. 136 (2014), 150 p. doi : 10.24033/msmf.446. http://numdam.org/item/MSMF_2014_2_136__1_0/

Bibliographie
Cité par

[1] M. Andersson & J. Sjöstrand – « Functional calculus for non-commuting operators with real spectra via an iterated Cauchy formula », J. Funct. An. 210 (2004), p. 341–375. | MR | Zbl

[2] M. V. Berry & K. E. Mount – « Semiclassical approximations in wave mechanics », Rep. Prog. Phys. 35 (1972), p. 315–397.

[3] J.-F. Bony, V. Bruneau & G. Raikov – « Counting function of characteristic values and magnetic resonances », http://arxiv.org/abs/1109.3985. | MR | Zbl

[4] W. Bordeaux Montrieux & J. Sjöstrand – « Almost sure Weyl asymptotics for non-self-adjoint elliptic operators on compact manifolds », Ann. Fac. Sci. Toulouse 19 (2010), p. 567–587. | MR | EuDML | Zbl | Numdam

[5] G. Carron – « Déterminant relatif et la fonction Xi », Amer. J. Math. 124 (2002), p. 307–352. | MR | Zbl

[6] T. J. Christiansen – « Schrödinger operators and the distribution of resonances in sectors », Anal. PDE 5 (2012), p. 961–982. | MR | Zbl

[7] E. B. Davies, P. Exner & J. Lipovský – « Non-Weyl asymptotics for quantum graphs with general coupling conditions », J. Phys. A 43 47 (2010), 474013, 16 pp. | MR | Zbl

[8] E. B. Davies & A. Pushnitski – « Non-Weyl resonance asymptotics for quantum graphs », Anal. PDE 4 (2011), p. 729–756. | MR | Zbl

[9] T. Dinh & D. Vu – « Asymptotic number of scattering resonances for generic Schrödinger operators », http://arxiv.org/abs/1207.4273. | MR | Zbl

[10] P. Exner & J. Lipovský – « Non-Weyl resonance asymptotics for quantum graphs in a magnetic field », Phys. Lett. A 375 (2011), p. 805–807. | MR | Zbl

[11] M. V. Fédoriouk – Méthodes asymptotiques pour les équations différentielles ordinaires linéaires, Éditions Mir, 1987.

[12] R. Froese – « Asymptotic distribution of resonances in one dimension », J. Differential Equations 137 (1997), p. 251–272. | MR | Zbl

[13] I. Gohberg & J. Leiterer – Holomorphic operator functions of one variable and applications, Operator Theory: Advances and Applications, vol. 192, Birkhäuser Verlag, 2009. | MR | Zbl

[14] I. C. Gohberg & M. G. Krein – Introduction to the theory of linear non-selfadjoint operators, Translations of mathematical monographs, vol. 18, Amer. Math. Soc., 1969. | MR | Zbl

[15] T. Hargé & G. Lebeau – « Diffraction par un convexe », Inv. Math. 118 (1994), p. 161–196. | MR | EuDML | Zbl

[16] B. Helffer & J. Sjöstrand – « Résonances en limite semi-classique », Mém. Soc. Math. France (N.S.) 24-25 (1986). | MR | EuDML | Zbl | Numdam

[17] V. Ivrii – « Sharp spectral asymptotics for operators with irregular coefficients. II. Domains with boundaries and degenerations », Comm. Partial Differential Equations 28 (2003), p. 103–128. | MR | Zbl

[18] A. Melin & J. Sjöstrand – « Bohr-Sommerfeld quantization condition for non-selfadjoint operators in dimension 2 », Astérique 284 (2003), p. 181–244. | MR | Zbl | Numdam

[19] R. B. Melrose – « Polynomial bound on the distribution of poles in scattering by an obstacle, (art. No. 3) », in Journées équations aux dérivées partielles, 1984, 8 pp. | EuDML

[20] S. Nakamura, P. Stefanov & M. Zworski – « Resonance expansions of propagators in the presence of potential barriers », J. Funct. Anal. 205 (2003), p. 180–205. | MR | Zbl

[21] T. Regge – « Analytic properties of the scattering matrix », Il Nuovo Cimento 8 (1958), p. 671–679. | MR | Zbl

[22] B. Simon – « Resonances in one dimension and Fredholm determinants », J. Funct. Anal. 178 (2000), p. 396–420. | MR | Zbl

[23] —, « The definition of molecular resonance curves by the method of exterior complex scaling », Physics Lett. 71A 2,3 (30 April 1979), p. 211–214.

[24] J. Sjöstrand – « Lectures on resonances », http://math.u-bourgogne.fr/IMB/sjostrand/Coursgbg.pdf. | Zbl

[25] —, « Geometric bounds on the density of resonances for semiclassical problems », Duke Math. J. 60 (1990), p. 1–57. | MR | Zbl

[26] —, « Resonances for bottles and trace formulae », Math. Nachr. 221 (2001), p. 95–149. | MR | Zbl

[27] —, « Eigenvalue distribution for non-self-adjoint operators with small multiplicative random perturbations », Ann. Fac. Sci. Toulouse 18 (2009), p. 739–795, http://arxiv.org/abs/0802.3584. | MR | EuDML | Zbl | Numdam

[28] —, « Counting zeros of holomorphic functions of exponential growth », J. pseudodifferential operators and applications 1 (2010), p. 75–100, http://arxiv.org/abs/0910.0346. | MR | Zbl

[29] —, « Eigenvalue distribution for non-self-adjoint operators on compact manifolds with small multiplicative random perturbations », Ann. Fac. Sci. Toulouse 19 (2010), p. 277–301. | MR | EuDML | Zbl | Numdam

[30] J. Sjöstrand & M. Zworski – « Complex scaling and the distribution of scattering poles », J. Amer. Math. Soc. 4 (1991), p. 729–769. | MR | Zbl

[31] —, « Estimates on the number of scattering poles near the real axis for strictly convex obstacles », Ann. Inst. Fourier 43 (1993), p. 769–790. | MR | EuDML | Zbl | Numdam

[32] —, « The complex scaling method for scattering by strictly convex obstacles », Ark. Mat. 33 (1995), p. 135–172. | MR | Zbl

[33] —, « Asymptotic distribution of resonances for convex obstacles », Acta Math. 183 (2000), p. 191–253. | Zbl

[34] —, « Elementary linear algebra for advanced spectral problems », Ann. Inst. Fourier 57 (2007), p. 2095–2141. | MR | EuDML | Zbl | Numdam

[35] —, « Fractal upper bounds on the density of semiclassical resonances », Duke Math J. 137 (2007), p. 381–459. | MR | Zbl

[36] P. Stefanov – « Sharp upper bounds on the number of the scattering poles », J. Funct. Anal. 231 (2006), p. 111–142. | MR | Zbl

[37] G. Vodev – « Sharp bounds on the number of scattering poles in even-dimensional spaces », Duke Math. J. 74 (1994), p. 1–17. | MR | Zbl

[38] A. Voros – « Spectre de l’équation de Schrödinger et méthode BKW », Publications Mathématiques d’Orsay, Université de Paris-Sud (1982), 75 pp., http://mathdoc.emath.fr/PMO/PDF/V_VOROS-167.pdf. | MR | Zbl

[39] L. Zieliński – « Semiclassical distribution of eigenvalues for elliptic operators with Hölder continuous coefficients. I. Non-critical case », Colloq. Math. 99 (2004), p. 157–174. | MR | Zbl

[40] M. Zworski – « Distribution of poles for scattering on the real line », J. Funct. Anal. 73 (1987), p. 277–296. | MR | Zbl

[41] —, « Sharp polynomial bounds on the number of scattering poles », Duke Math. J. 59 (1989), p. 311–323. | MR | Zbl

[42] —, « Sharp polynomial bounds on the number of scattering poles of radial potentials », J. Funct. Anal. 82 (1989), p. 370–403. | MR | Zbl

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