The geometry of nondegeneracy conditions in completely integrable systems (corrected version of fascicule 4, volume XIV, 2005, p. 705-719)
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 15 (2006) no. 2, p. 383-397

Nondegeneracy conditions need to be imposed in K.A.M. theorems to insure that the set of diophantine tori has a large measure. Although they are usually expressed in action coordinates, it is possible to give a geometrical formulation using the notion of regular completely integrable systems defined by a fibration of a symplectic manifold by lagrangian tori together with a Hamiltonian function constant on the fibers. In this paper, we give a geometrical definition of different nondegeneracy conditions, we show the implication relations that exist between them, and we show the uniqueness of the fibration for non-degenerate Hamiltonians.

Dans les théorèmes de type K.A.M., on doit imposer des conditions de non-dégénérescence pour assurer que l’ensemble des tores diophantiens a une grande mesure. Elles sont habituellement présentées en coordonnées actions, mais il est possible d’en donner une formulation géométrique en considérant des systèmes complètement intégrables définis par la donnée d’une fibration d’une variété symplectique par des tores lagrangiens et d’un Hamiltonien constant sur les fibres. Dans cet article, nous donnons une définition géométrique de différentes conditions de non-dégénérescence, nous montrons les différentes relations d’implication qui existent entre elles, et nous montrons l’unicité de la fibration pour les Hamiltoniens non-dégénérés.

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Roy, Nicolas. The geometry of nondegeneracy conditions in completely integrable systems (corrected version of fascicule 4, volume XIV, 2005, p. 705-719). Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 15 (2006) no. 2, pp. 383-397. doi : 10.5802/afst.1125. http://www.numdam.org/item/AFST_2006_6_15_2_383_0/

[1] Arnol’D, V. I. A theorem of Liouville concerning integrable dynamics, Siberizn Math. J., Tome 4 (1963), pp. 471-474 | MR 147742 | Zbl 0189.24401

[2] Bruno, A. D. Local Methods in nonlinear differential equations, Springer-Verlag (1989) | MR 993771 | Zbl 0674.34002

[3] Dixmier, J. Topologie Générale, Presses Universitaires de France (1981) | MR 637202 | Zbl 0449.54001

[4] Duistermaat, J. J. Global action-angle coordinates, Comm. Pure App. Math., Tome 32 (1980), pp. 687-706 | MR 596430 | Zbl 0439.58014

[5] Kolmogorov, A. N. On conservation of conditionally periodic motions for a small change in Hamilton’s function, Dokl. Akad. Nauk. SSSR, Tome 98 (1954) no. 4, pp. 527-530 | MR 68687 | Zbl 0056.31502

[6] Liouville, J. Note sur l’intégration des équations différentielles de la dynamique, J. Math. Pure App., Tome 20 (1855), p. 137-138

[7] Mineur, H. Réduction des systèmes mécaniques à n degrés de libertés admettant n intégrales premières uniformes en involution aux systèmes à variables séparées, J. Math. Pure Appl., Tome 15 (1936), pp. 221-267 | Zbl 0015.32401

[8] Rüssmann, H. Nondegeneracy in the perturbation theory of integrable dynamical systems, Number theory and dynamical systems (York, 1987), London Math. Soc., Cambridge (Lecture Note Ser.) Tome 134 (1989), pp. 5-18 | MR 1043702 | Zbl 0689.34039

[9] Weinstein, A. Symplectic manifolds and their lagrangian subamnifolds, Adv. in Math., Tome 6 (1971), pp. 329-346 | MR 286137 | Zbl 0213.48203

[10] Weinstein, A. Lagrangian submanifolds and hamiltonian systems, Ann. of Math., Tome 98 (1973), pp. 377-410 | MR 331428 | Zbl 0271.58008