An example of local analytic q-difference equation : Analytic classification

En utilisant les techniques développées par Jean Ecalle pour l’étude des équations différentielles nonlinéaires, on montre que l’équation aux $q$-différences

$$x{\sigma }_{q}y=y+b(y,x)$$

avec $\left({\sigma }_{q}f\right)\left(x\right)=f\left(qx\right)$ ($q>1$) et $b(0,0)={\partial }_{y}b(0,0)=0$ est conjuguée analytiquement à l’une des équations suivantes :

$$x{\sigma }_{q}y=y\text{ou}x{\sigma }_{q}y=y+x$$

Using the techniques developed by Jean Ecalle for the study of nonlinear differential equations, we prove that the $q$-difference equation

$$x{\sigma }_{q}y=y+b(y,x)$$

with $\left({\sigma }_{q}f\right)\left(x\right)=f\left(qx\right)$ ($q>1$) and $b(0,0)={\partial }_{y}b(0,0)=0$ is analytically conjugated to one of the following equations :

$$x{\sigma }_{q}y=y\text{ou}x{\sigma }_{q}y=y+x$$