Quand est-ce que des bornes de Hardy permettent de calculer une constante de Poincaré exacte sur la droite ?

Miclo, Laurent

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 17 (2008) no. 1, pp. 121-192.

Classiquement, des inégalités de Hardy permettent d’estimer le trou spectral d’une diffusion réelle à un facteur 4 près. L’objectif de ce papier est d’essayer de mieux appréhender cette constante fluctuante, du moins dans un contexte symétrique. Notamment on donnera un critère asymptotique simple assurant qu’elle vaut exactement 4. L’argument sous-jacent consiste à voir le trou spectral comme une fonctionnelle semi-explicite et surtout monotone en un réarrangement des données du problème. Pour l’exhiber, on aura recours à des propriétés de régularité de la constante de Poincaré correspondante et on fera certains liens avec les méthodes de chemins, les premières valeurs propres de Dirichlet, les équations de Sturm-Liouville et les fonctionnelles browniennes, la plupart ayant déjà été observés par divers auteurs. Enfin on étendra les résultats obtenus au cas des processus de vie et de mort sur $\mathbb{Z}$, mais toujours dans un cadre symétrique. Notre espoir est que cette démarche pourra s’adapter pour permettre d’appliquer finement les constantes de Hardy à des inégalités fonctionnelles plus ardues que celle de Poincaré.

Classically, Hardy’s inequality enables to estimate the spectral gap of a one-dimensional diffusion up to a factor belonging to $[1,4]$. The goal of this paper is to better understand the latter factor, at least in a symmetric setting. In particular, we will give an asymptotical criterion implying that its value is exactly 4. The underlying argument is based on a semi-explicit functional for the spectral gap, which is monotone in some rearrangement of the data. To find it will resort to some regularity properties of Poincaré’s constant and we will exhibit some links, more or less already known, with path methods, principal Dirichlet eigenvalues, Sturm-Liouville’s equations and Brownian functionals. Finally, we will extend the investigation to the case of birth and death processes on $\mathbb{Z}$, still in a symmetric context. We hope this approach can be extended to more difficult functional inequalities.

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