Almost sure Weyl asymptotics for non-self-adjoint elliptic operators on compact manifolds
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 19 (2010) no. 3-4, p. 567-587
Dans ce travail, nos considérons des opérateurs différentiels elliptiques sur des variétés compactes avec une perturbation aléatoire dans le terme d’orde 0. Sous des hypothèses supplémentaires assez faibles, nous montrons que les grandes valeurs propres se distribuent selon la loi de Weyl, bien connue dans le cas auto-adjoint.
In this paper, we consider elliptic differential operators on compact manifolds with a random perturbation in the 0th order term and show under fairly weak additional assumptions that the large eigenvalues almost surely distribute according to the Weyl law, well-known in the self-adjoint case.
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     author = {Bordeaux Montrieux, William and Sj\"ostrand, Johannes},
     title = {Almost sure Weyl asymptotics for non-self-adjoint elliptic operators on compact manifolds},
     journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques},
     publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Toulouse},
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Bordeaux Montrieux, William; Sjöstrand, Johannes. Almost sure Weyl asymptotics for non-self-adjoint elliptic operators on compact manifolds. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 19 (2010) no. 3-4, pp. 567-587. doi : 10.5802/afst.1257. https://www.numdam.org/item/AFST_2010_6_19_3-4_567_0/

[1] Bordeaux Montrieux (W.).— Loi de Weyl presque sûre et résolvante pour des opérateurs différentiels non-autoadjoints, Thesis, CMLS, Ecole Polytechnique (2008). See also paper to appear in Annales Henri Poincaré. http://pastel.paristech.org/5367/ | MR 2605808

[2] Davies (E.B.).— Semi-classical states for non-self-adjoint Schrödinger operators, Comm. Math. Phys. 200(1), p. 35-41 (1999). | MR 1671904 | Zbl 0921.47060

[3] Dimassi (M.), Sjöstrand (J.).— Spectral asymptotics in the semi-classical limit, London Math. Soc. Lecture Notes Ser., 268, Cambridge Univ. Press, (1999). | MR 1735654 | Zbl 0926.35002

[4] Grigis (A.).— Estimations asymptotiques des intervalles d’instabilité pour l’équation de Hill, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 20(4), p. 641-672 (1987). | Numdam | MR 932802 | Zbl 0644.34021

[5] Hager (M.).— Instabilité spectrale semiclassique d’opérateurs non-autoadjoints. II. Ann. Henri Poincaré, 7(6), p. 1035-1064 (2006). | MR 2267057 | Zbl 1115.81032

[6] Hager (M.), Sjöstrand (J.).— Eigenvalue asymptotics for randomly perturbed non-selfadjoint operators, Math. Annalen, 342(1), p. 177-243 (2008). | MR 2415321 | Zbl 1151.35063

[7] Seeley (R.).— A simple example of spectral pathology for differential operators, Comm. Partial Differential Equations 11(6), p. 595-598 (1986). | MR 837277 | Zbl 0598.35013

[8] Sjöstrand (J.).— Eigenvalue distributions and Weyl laws for semi-classical non-selfadjoint operators in 2 dimensions, Proceedings of the Duistermaat conference 2007, Birkhäuser, Progress in Math., to appear.

[9] Sjöstrand (J.).— Eigenvalue distribution for non-self-adjoint operators with small multiplicative random perturbations, Ann. Fac. Sci. Toulouse, (6) 18(4), p. 739-795 (2009). | Numdam | MR 2590387 | Zbl 1194.47058

[10] Sjöstrand (J.).— Eigenvalue distribution for non-self-adjoint operators on compact manifolds with small multiplicative random perturbations, Ann. Fac. Sci. Toulouse (6) 19(2), p. 277-301 (2010). | Numdam | MR 2674764 | Zbl pre05799092

[11] Trefethen (L.N.).— Pseudospectra of linear operators, SIAM Rev. 39(3), p. 383-406 (1997). | MR 1469941 | Zbl 0896.15006

[12] Zworski (M.).— A remark on a paper of E. B. Davies: “Semi-classical states for non-self-adjoint Schrödinger operators”, Proc. Amer. Math. Soc. 129(10), p. 2955-2957 (2001). | MR 1840099 | Zbl 0981.35107