Quotients de suites holonomes

Bellagh, Abdelaziz; Bézivin, Jean-Paul

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 20 (2011) no. 1, pp. 135-166.

Soit $G$ un sous-groupe du groupe multiplicatif de $ℂ$, et $d\ge 1$. On note $G_d$ l’ensemble des éléments de $ℂ$ s’écrivant $w_1+\cdots +w_d$ avec $w_j\in G$ pour tout $j$. Soient $u_n$ et $v_n$ deux suites de nombres complexes vérifiant des relations de récurrence à coefficients polynômes en la variable $n$ (suites holonomes), avec $v_n\ne 0$ pour $n$ assez grand. Dans cet article, nous nous intéressons au problème suivant  :

Soit $a_n=\frac{u_n}{v_n}$, on suppose que pour un entier $d\ge 1$, $a_n$ appartient à $G_d$ où $G$ est sous-groupe de type fini du groupe multiplicatif de $ℂ$.

A-t-on que la suite $a_n$ est récurrente linéaire ?

Dans ce qui suit, nous prouvons que dans quelques cas particuliers, la réponse est affirmative.

(Quotient of holonomics sequences) For a subgroup $G$ of the multiplicative group of $ℂ$ and $d\ge 1$, let $G_d$ be the set of complex numbers such that there exists $w_j,j=1,\cdots ,d$ in $G$ with $z=w_1+\cdots +w_d$. Let $u_n$ and $v_n$ be sequences of complex numbers that verify linear recurrence relations with polynomials coefficients (holonomic sequences). Suppose that $v_n\ne 0$ for large $n$.

In this paper, we are interested in the following problem:

Let $a_n=\frac{u_n}{v_n}$, and suppose that for an integer $d\ge 1$, $a_n$ belongs to $G_d$ for a finitely generated subgroup $G$ of the multiplicative group of $ℂ$.

Does it follows that $a_n$ is a linear recurrent sequence ?

We prove that in some particular cases, the answer to this question is positive.

[1] Bézivin (J-P.).— Sur un théorème de G. Polya. Journal für die reine angewdte Math, 364, p. 60–68, (1986). | MR | Zbl

[2] Bézivin (J-P.).— Une généralisation du théorème de Skolem-Mahler-Lech. Quart. J. Math Oxford. 40, no 158, p. 133–138, (1989). | MR | Zbl

[3] Corvaja (P.), Zannier (U.).— Finiteness of integral values for the ratio of two linear recurrence. Invent. Math, 149, no. 2, p. 431–451, (2002). | MR | Zbl

[4] Evertse (J.H.).— On sums of S-units and linear recurrences. Compositio Math, 53, no 2, p. 225–244, (1984). | Numdam | MR | Zbl

[5] Lang (S.).— Fundamentals of diophantine geometry. New York, (1983). | MR | Zbl

[6] Kooman (R.J), Tijdeman (R.).— Convergence properties of linear recurrence sequences. Nieuw Arch Wisk. 4, no 1, p. 13–25, (1990). | MR | Zbl

[7] Lech (C.).— A note on recurring series. Ark Mat, 2, p. 417-421, (1953). | MR | Zbl

[8] Luca (F.).— Prime divisors of binary holonomic sequences. Adv in Appl Math. 40, no 2, p. 168–169, (2008). | MR | Zbl

[9] Mahler (K.).— Eine Arithmetische Eigenschaft der Taylor Koeffizienten rationaler Funktionen. Proc Akad Wet Amsterdam, 38, p. 51–60, (1935).

[10] Methfessel (C.).— On the zeros of recurrence sequences with non constant coefficients. Archiv der Mathematik, 74, p. 201-206, (2000). | MR | Zbl

[11] Norlund (N.).— Vorlesungen über Differenzenrechnung. Springer Verlag, Berlin (1924).

[12] Perron (O.).— Uber einen Satz des Herrn Poincaré. J reine angew Math, 136, p. 17–37, (1909).

[13] Pourchet (Y.).— Solution du problème arithmétique du quotient de Hadamard de deux fractions rationnelles. C. R. Acad. Sci. Paris. 288, no. 23, p. 1055–1057, (1979). | MR | Zbl

[14] Rumely (R.).— Notes on van der Poorten’s proof of the Hadamard quotient theorem. I, II. Séminaire de Théorie des Nombres, Paris (1986-87), p. 349–382, p. 383–409, Progr. Math., 75, Birkhäuser Boston, Boston, MA, (1988). | MR | Zbl

[15] Schlickewei (H.P.), Van der Poorten (A.J.).— Additive relations in fields. J. Austral. Math. Soc. Ser. A 51, no. 1, p. 154–170, (1991). | MR | Zbl

[16] Singer (M.F.), Van der Put (M.).— Galois theory of difference equations. Lecture Notes in Mathematics, 1666. Springer-Verlag, Berlin, (1997). | MR | Zbl

[17] Skolem (T.).— Ein Verfahren zur Behandlung gewisser exponentialer Gleichungen. Comptes Rendus du 8-ième congrès des mathématiciens scandinaves, p. 163-188, (1935). | Zbl

[18] Van der Poorten (A.J.).— Solution de la conjecture de Pisot sur le quotient de Hadamard de deux fractions rationnelles. C. R. Acad. Sci. Paris. 306, no. 3, p. 97–102, (1988). | MR | Zbl