Maximal subextensions of plurisubharmonic functions

Cegrell, U.; Kołodziej, S.; Zeriahi, A.

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 20 (2011) no. S2, pp. 101-122.

Dans notre travail précédent [CKZ], nous avions démontré que toute fonction plurisousharmonique sur un ouvert hyperconvexe borné de ${ℂ}^n$ ayant des valeurs au bord nulles en un sens assez général possède une sous-extension plurisousharmonique dans un domaine hyperconvexe plus grand. D’une façon plus générale, étant donnée une fonction quasi-plurisousharmonique $\varphi$ sur un domaine quasi-hyperconvex $D\subset X$ d’une variété kählerienne compacte $(X,\omega )$, de valeurs au bord nulle en un sens généralisé et ayant une mesure de Monge-Ampère bien définie sur $D$ et vérifiant ${\int }_D{(\omega +d{d}^c\varphi )}^n\le {\int }_X{\omega }^n$, nous démontrons que $\varphi$ admet une sousextension $\tilde{\varphi }$ à la variété $X$ toute entière. Si de plus ${(\omega +d{d}^c\varphi )}^n$ ne charge pas les ensembles pluripolaires de $D$, la sousextension maximale possède une mesure de Monge-Ampère globale bien définie sur $X$ dont nous étudions la mesure de Monge-Ampère. De plus nous donnons un contrôle précis en terme d’energie de Monge-Ampère pondérée de la sousextension maximale en fonction de l’energie pondérée de la donnée $\varphi$. Enfin nous donnons un exemple dans ${\mathbb{P}}^2$ qui montre qu’en général la sousextension maximale n’a pas une mesure de Monge-Ampère globale bien définie si la mesure de Monge-Ampère de la fonction donnée concentre de la masse sur un disque analytique.

In our earlier paper [CKZ], we proved that any plurisubharmonic function on a bounded hyperconvex domain in ${ℂ}^n$ with zero boundary values in a quite general sense, admits a plurisubharmonic subextension to a larger hyperconvex domain. Here we study important properties of its maximal subextension and give informations on its Monge-Ampère measure. More generally, given a quasi-plurisubharmonic function $\varphi$ on a given quasi-hyperconvex domain $D\subset X$ of a compact Kähler manifold $(X,\omega )$, with well defined Monge-Ampère measure such that ${\int }_D{(\omega +d{d}^c\varphi )}^n\le {\int }_X{\omega }^n$, we prove that $\varphi$ admits a global quasi-plurisubharmonic subextension $\tilde{\varphi }$ to the whole manifold $X$. If moreover ${(\omega +d{d}^c\varphi )}^n$ puts no mass on pluripolar sets of $D$, the maximal subextension is shown to have a well defined global Monge-Ampère measure on $X$. Moreover we give a good control on the weigthed energy of the subextension in terms of the weigthed energy of the original function. Finally we provide an exemple in ${\mathbb{P}}^2$ which shows that in general the maximal subextension do not have a well defined Monge-Ampère measure on ${\mathbb{P}}^2$ if the original function concentrates some mass in an analytic disc.

[ACCP] Åhag (P.), Cegrell (U.), Czyz (R.), Pham (R.H.H.).— Monge-Ampère measures on pluripolar sets. J. Math. Pures Appl. 92, p. 613-627 (2009). | MR | Zbl

[BGZ] Benelkourchi (S.), Guedj (V.), Zeriahi (A.).— Plurisubharmonic functions with weak singularities, Acta Universitatis Upsaliensis, Proceedings of the conference in honor of C.Kiselman (Kiselmanfest, Uppsala, May 2006), (2009). | MR | Zbl

[BT1] Bedford (E.), Taylor (B.A.).— The Dirichlet problem for the complex Monge-Ampère operator. Invent. Math. 37, p. 1-44 (1976). | MR | Zbl

[BT2] Bedford (E.), Taylor (B.A.).— A new capacity for plurisubharmonic functions, Acta Math., 149, p. 1-40 (1982). | MR | Zbl

[BT3] Bedford (E.), Taylor (B.A.).— Fine topology, Šilov boundary, and ${\left(d{d}^c\right)}^n$, J. Funct. Anal. 72, no. 2, p. 225-251 (1987). | MR | Zbl

[Ce1] Cegrell (U.).— Pluricomplex energy, Acta Math., 180, p. 187-217 (1998). | MR | Zbl

[Ce2] Cegrell (U.).— The general definition of the complex Monge-Ampère operator, Ann. Inst. Fourier, 51, p. 159-179 (2004). | Numdam | MR | Zbl

[Ce3] Cegrell (U.).— A general Dirichlet problem for the Complex Monge-Ampère operator. Ann. Pol. Math. 94.2, p. 131-147 (2008). | MR | Zbl

[Ce4] Cegrell (U.).— Removable singularities for plurisubharmonic functions and related problems. Proc. London Math. Soc. 36, p. 310-326 (1978). | MR | Zbl

[CH] Cegrell (U.), Hed (L.).— Subextension and approximation of negative plurisubharmonic functions. Michigan Math. J. Vol 56:3, p. 593-601 (2008). | MR | Zbl

[CKZ] Cegrell (U.), Kołodziej (S.), Zeriahi (A.).— Subextension of plurisubharmonic functions with weak singularities. Math. Z. 250, p. 7-22 (2005). | MR | Zbl

[CZ] Cegrell (U.), Zeriahi (A.).— Subextension of plurisubharmonic functions with bounded Monge-Ampère mass. C. R. Acad. Sci. Paris 336, no. 4, p. 305-308 (2003). | MR | Zbl

[Co] Coman (D.).— Certain classes of pluricomplex Green functions on ${ℂ}^n$. Math. Z. 235, p. 111-122 (2000). | MR | Zbl

[CGZ] Coman (D.), Guedj (V.), Zeriahi (A.).— Domains of definition of Monge-Ampère operators on compact Kähler manifolds Math. Z. 259, p. 393-418 (2008). | MR | Zbl

[GZ1] Guedj (V.), Zeriahi (A.).— Intrinsic capacities on compact Kähler manifolds J. Geom. Anal. 15, no. 4, p. 607-639 (2005). | MR | Zbl

[GZ2] Guedj (V), Zeriahi (A.).— The weighted Monge-Ampère energy of quasiplurisubharmonic functions. J. Funct. Anal. 250, p. 442-482 (2007). | MR | Zbl

[P] Pham (H.H.).— Pluripolar sets and the subextension in Cegrell’s classes. Complex Var. Elliptic Equ. 53, p. 675-684 (2008). | MR | Zbl

[S] Siu (Y.T.).— Analyticity of sets associated to Lelong numbers and the extension of closed positive currents. Invent. Math. 27, p. 53-156 (1974). | MR | Zbl