The set of paths in a space and its algebraic structure. A historical account
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 22 (2013) no. 5, p. 915-968

The present paper provides a test case for the significance of the historical category “structuralism” in the history of modern mathematics. We recapitulate the various approaches to the fundamental group present in Poincaré’s work and study how they were developed by the next generations in more “structuralist” manners. By contrasting this development with the late introduction and comparatively marginal use of the notion of fundamental groupoid and the even later consideration of equivalence relations finer than homotopy of paths (their implicit presence from the outset in the proof of the group property of the fundamental group notwithstanding), we encounter “delay” phenomena which are explained by focussing on the actual uses of a concept in mathematical discourse.

Le présent document fournit un cas d’école pour la signification de la catégorie historique « structuralisme » dans l’histoire des mathématiques modernes. Nous récapitulons les différentes approches pour le groupe fondamental présentes dans les travaux de Poincaré et étudions comment celles-ci ont été développées par les générations suivantes dans des directions plus « structuralistes ». En comparant cette évolution avec l’introduction tardive et l’utilisation relativement marginale de la notion de groupoïde fondamental et la prise en compte même plus tardive de relations d’équivalence plus fines que l’homotopie de chemins (nonobstant leur présence implicite dès le départ dans la preuve de la propriété de groupe du groupe fondamental), nous rencontrons des phénomènes « retard » qui sont expliqués en se concentrant sur les usages réels d’un concept dans le discours mathématique.

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Krömer, Ralf. The set of paths in a space and its algebraic structure. A historical account. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 22 (2013) no. 5, pp. 915-968. doi : 10.5802/afst.1392. http://www.numdam.org/item/AFST_2013_6_22_5_915_0/

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