Basic nets in the projective plane

Orevkov, S. Yu.

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 24 (2015) no. 1, pp. 205-226.

La notion de réseau basique (aussi appelé polyèdre basique) dans $S^2$ joue un rôle central dans l’approche de Conway à l’énumération des nœuds et des entrelacs dans $S^3$. Drobotukhina a appliqué cette approche aux entrelacs dans ${ℝP}^3$ en utilisant les réseaux basiques dans ${ℝP}^2$. D’après le résultat de Nakamoto, tout réseau basique dans $S^2$ peut être obtenu à partir d’une famille très explicite des réseaux basiques minimaux (les réseaux ${(2\times n)}^{*}$, $n\ge 3$, selon la notation de Conway) à l’aide de deux transformations locales. On démontre un résultat similaire pour les réseaux basiques dans ${ℝP}^2$. On démontre aussi qu’un graphe dans ${ℝP}^2$ est déterminé uniquement par son image reciproque sur $S^2$. La preuve est basée sur le théorème du point fixe de Lefschetz.

The notion of basic net (called also basic polyhedron) on $S^2$ plays a central role in Conway’s approach to enumeration of knots and links in $S^3$. Drobotukhina applied this approach for links in ${ℝP}^3$ using basic nets on ${ℝP}^2$. By a result of Nakamoto, all basic nets on $S^2$ can be obtained from a very explicit family of minimal basic nets (the nets ${(2\times n)}^{*}$, $n\ge 3$, in Conway’s notation) by two local transformations. We prove a similar result for basic nets in ${ℝP}^2$. We prove also that a graph on ${ℝP}^2$ is uniquely determined by its pull-back on $S^2$. The proof is based on Lefschetz fixed point theorem.

[1] Brinkmann (G.), Greenberg (S.), Greenhill (C.), McKay (B. D.), Thomas (R.), Wollan (P.).— Generation of simple quadrangulations of the sphere, Discrete Math., 305, p. 33-54 (2005). | MR | Zbl

[2] Brinkmann (G.), McKay (B. D.).— Fast generation of planar graphs, MATCH: Commun. Math. Comput. Chem., 58, p. 323-357 (2007); Expanded: http://cs.anu.edu.au/~bdm/papers/plantri-full.pdf | MR | Zbl

[3] Brinkmann (G.), McKay (B. D.).— The program plantri, http://cs.anu.edu.au/~bdm/plantri

[4] Conway (J. H.).— An enumeration of knots and links, and some of their algebraic properties, Computational Problems of Abstract Algebra (Proc. Conf., Oxford, 1967), Pergamon, Oxford, p. 329-358 (1970); Available at http://www.math.ed.ac.uk/~aar/knots/conway.pdf | MR | Zbl

[5] Drobotukhina (J.).— Classification of links in ${ℝP}^3$ with at most six crossings, in “Topology of manifolds and varieties” (ed. O.Ya. Viro), Advances in Soviet Math., 18, A.M.S., p. 87-121, (1994). | MR | Zbl

[6] Nakamoto (A.).— Generating Quadrangulations of Surfaces with Minimum Degree at Least 3, Journal of Graph Theory, 30, no. 3, p. 223-234 (1999). | MR | Zbl

[7] Orevkov (S. Yu.).— The program ppf, http://picard.ups-tlse.fr/~orevkov/ppf.c