Les bissections expliquent le théorème de Reidemeister-Singer : Un retour aux sources
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 24 (2015) no. 5, pp. 1025-1056.

Le théorème de Reidemeister-Singer des années 20 affirme que deux scindements de Heegaard d’une même variété de dimension 3 deviennent isotopes après une suite de sommes connexes deux-à-deux disjointes avec le scindement standard de la 3-sphère le long d’un tore plongé et non-noué. Cet article en donne une preuve qui n’utilise que les idées disponibles lorsque le théorème fut énoncé, en particulier la notion de bissection linéaire pour des complexes tels que ceux utilisés par J. W. Alexander en 1930. L’histoire est rappelée, en particulier celle des diverses démonstrations plus ou moins convaincantes du théorème.

The Reidemeister-Singer theorem of the 1930s asserts that any two Heegaard splittings of a closed 3-manifold become ambient isotopic after repeated pairwise connected sum with the standard splitting of the 3-sphere by an embedded and unknotted 2-torus. This article gives a bootstrapping proof using only ideas available when the theorem was first asserted, notably a notion of linear bisection in complexes of a sort used by J.W. Alexander in 1930. Much history is recounted, including various convincing or unconvincing proofs of the theorem.

DOI : 10.5802/afst.1474
Siebenmann, Laurent C. 1

1 Département mathématique, Université de Paris-Sud, 91405 Orsay, France
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Siebenmann, Laurent C. Les bissections expliquent le théorème de Reidemeister-Singer : Un retour aux sources. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 24 (2015) no. 5, pp. 1025-1056. doi : 10.5802/afst.1474. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/afst.1474/

[AkM] Akbulut (S.) and McCarthy (J.).— Casson’s Invariant for Oriented Homology 3-spheres : An Exposition, Mathematical Notes 36, Princeton University Press (1990). | MR | Zbl

[Alex1] Alexander (J.W.).— A proof and extension of the Jordan-Brouwer separation theorem, Transactions Amer. Math. Soc. 28, p. 301-329 (1922).

[Alex2] Alexander (J.W.).— The combinatorial theory of complexes, Annals of Math. 31, p. 292-320 (1930). | MR

[Alex3] Alexander (J.W.).— Some problems in topology, Proceedings Int. Cong. Math. Zürich, 1932, Vol. 1, p. 249-257. | Zbl

[Bi] Birman (J.).— On the equivalences of Heegaard splittings of closed orientable 3-manifolds, Ann. Math. Studies 84 p. 137-164 (1975). | MR | Zbl

[BGM] Birman (J.), Gonzalez-Acuna (F.) and Montesinos (J.).— Heegaard splittings of prime 3-manifolds are not unique, Michigan Math. J. 23, no. 2, 97-103 (1976). | MR | Zbl

[BM] Birman (J.) and Montesinos (J.).— On minimal Heegaard splittings, Michigan Math. J. 27 , no. 1, 47-56 (1980). | MR | Zbl

[BZ1] Boileau (M.) et Zieschang (H.).— Genre de Heegaard d’une variété de dimension 3 et générateurs de son groupe fondamental, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 296, no.22, p. 925-928 (1983). | MR | Zbl

[BZ2] Boileau (M.) et Zieschang (H.).— Heegaard genus of closed orientable 3-manifolds, Invent. Math. 76 p. 455-468 (1984). | MR | Zbl

[Bon] Bonahon (F.).— La démonstration du théorème de Reidemeister-Singer par les techniques de J. Cerf, un article manuscrit, circa 1979. Ce manuscrit est provisoirement introuvable  ; entretemps l’exploitation par Kirby dans [Ki1] (pour dimension 4) des mêmes méthodes de [Ce] offre un argument analogue. Voir aussi [Laud] de 2013.

[Ce] Cerf (J.).— La stratification naturelle des espaces de fonctions différentiables réelles et le théorème de la pseudo-isotopie, Publ. Math. IHES 39, p. 5-173 (1970). | Numdam | MR | Zbl

[Ch] Chillingworth (D.R.H.).— Collapsing three-dimensional convex polyhedra, Proc. Cambridge Philos. Soc. 63, p. 353-357 (1967). | MR | Zbl

[Cr] Craggs (R.).— A new proof of the Reidemeister-Singer theorem on stable equivalence of Heegaard splittings, Proc. Amer. Math. Soc. 57, p. 143-147 (1976). | MR | Zbl

[DH] Dehn (M.) und Heegaard (P.).— Analysis Situs, Enzyclopädie der Math. Wiss. III AB3, Leipzig (1907).

[Eng] Engmann (D.).— Nicht-homéomorphe Heegaard-Zerlegungen vom Geschlect 2 der zusammenhängenden Summe zweier Linsenräume, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 35 p. 33-38 (1970). | MR | Zbl

[Epple] Epple (M.).— Die Entstehung der Knotentheorie, xv + 449 Z., Vieweg (1999). | MR | Zbl

[Gla] Glaser (L.C.).— Geometrical combinatorial topology, Vol. I, Van Nostrand Reinhold Co., New York (1970). | MR | Zbl

[GM] Guillou (L.) et Marin (A. ).— Notes sur l’invariant de Casson des sphères d’homologie de dimension trois (avec annexe par Christine Lescop) L’Enseignement Mathématique, 38, p. 233-290 (1992). | MR | Zbl

[HTT] Hass (J.), Thompson (A.) and Thurston (W.).— Stabilization of Heegaard splittings, Geom. Topol. 13, no. 4, p. 2029-2050 (2009). | MR | Zbl

[Hu] Hudson (J.F.P.).— Piecewise linear topology, Benjamin (1969). | MR | Zbl

[Jo] Johannson (J.).— Topology and combinatorics of 3-manifolds, Lecture Notes in Mathematics 1599, Springer (1995). | MR | Zbl

[Ki1] Kirby (R.).— A calculus for framed links in S 3 , Invent. Math. 45, no. 1, p. 35-56 (1978). Certains des lemmes laissés ici sans preuve sont prouvés dans [Laud]. | MR | Zbl

[Ki2] Kirby (R.).— Problems in low-dimensional topology, AMS-IP Studies in Advanced Mathematics, v 2, Part 2, Geometric Topology 1993, Georgia International Topology Conference 1993, U. Georgia at Athens, Georgia U.S.A., W. H. Kazez, Editor, Chapter 3, p. 141-236 (1997). | MR | Zbl

[KS] Kirby (R.) and Siebenmann (L.).— On the triangulation of manifolds and the Hauptvermutung, Bull. Amer. Math. Soc. 75, p. 742-749 (1969). | MR | Zbl

[Laud] Laudenbach (F.).— A proof of Reidemeister-Singer’s theorem by CerfÕs methods, Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6) 23 (2014), p. 197-221 ; cette preuve est plus détaillée que celle de [Bon]. | Numdam | MR

[Lei] Lei (F.).— On stability of Heegaard splittings, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 129, p. 55-57 (2000). | MR | Zbl

[Mo] Montesinos (J.M.).— Revêtements ramiflés de noeuds, espaces fibrés de Seifert et scindements de Heegaard, conférences donné à Orsay vers 1980  ; voir l’article [BM].

[Mil] Milnor (J.W.).— Whitehead Torsion, Bull. Amer. Math. Soc. 72 358-426 (1966). | MR | Zbl

[N1] Newman (M.H.A.).— Proc. London Math. Soc. 30, p. 339-346 (1926). | MR

[N2] Newman (M.H.A.).— On the foundations of combinatory Analysis Situs, Proc. Akad. Wetensch. Amsterdam 29, p. 611-641 (1926) and 30, p. 670-673 (1927).

[N3] Newman (M.H.A.).— Combinatory topology of convex regions, Proc, Nat. Acad. Sci. USA 16, p. 440-442 (1930).

[O] Otal (J-P.).— Sur les scindements de Heegaard de la sphère S 3 , Topology 30, p. 249-258 (1991). | MR | Zbl

[Pont] Pont (J.-C.).— La topologie algébrique, des origines à Poincaré, Presses Univ. de France, Paris (1974). | MR | Zbl

[Pach1] Pachner (U.).— Konstruktionsmethoden und das kombinatorische Homëomorphieproblem für Triangulationen kompakter semilinearer Mannigfaltigkeiten (Methods of construction and the combinatorial homeomorphism problem for triangulations of compact piecewise linear manifolds) Abhandlungen Math. Sem. Univ. Hamburg 57, p. 69-86 (1986). | MR | Zbl

[Pach2] Pachner (U.).— Shellings of simplicial balls and p.l. manifolds with boundary, Discrete Math. 81, p. 37-47 (1990). | MR | Zbl

[Pach3] Pachner (U.).— P.L. homeomorphic manifolds are equivalent by elementary shellings, European J. Combinatorics. 12, no. 2, p. 129-145 (1991). | MR | Zbl

[Pann] Pannwitz (E.).— Jahrbuch Review JFM 64.0593.03 of [Rei3] from Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, (1868-1942) ; http ://www.emis.de/MATH/JFM/full.html

[Rei1] Reidemeister (K.).— Knotentheorie, Ergebnisse Math. 1, Springer Vlg. (1932).

[Rei2] Reidemeister (K.).— Zur dreidimensionalen Topologie, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 9, p. 189-194 (1933). | MR | Zbl

[Rei3] Reidemeister (K.).— Topologie der Polyeder und kombinatorische Topologie der Komplexe, Akademie Verlag, Leipzig (1938) (2nd unaltered edition 1953). Also reprinted by Chelsea (1950). | MR | Zbl

[RoS] Rourke (C.) and Sanderson (B.).— Introduction to piecewise-linear topology, Ergebnisse Math. Band 69, Springer (1972). | MR | Zbl

[RuS] Rubinstein (H.) and Scharlemann (M.).— Comparing Heegaard splittings of non-Haken 3-manifolds, Topology, 35 no.4, p. 1005-1026 (1996). | MR | Zbl

[Sch1] Scharlemann (M.).— Heegaard splittings of compact 3-manifolds, in Handbook of geometric topology, 921-953, North-Holland, Amsterdam (2002), see also arXiv :  math/0007144v1, and [Sch2]. | MR | Zbl

[Sch2] Scharlemann (M.).— Heegaard splittings of 3-manifolds, Low dimensional topology, New Stud. Adv. Math. 3 p. 25-39, Int. Press (2003). | MR | Zbl

[SchT] Scharlemann (M.) and Thompson (A.) .— Thin position and Heegaard splittings of the 3-sphere, Jour. Diff. Geom. 39 p. 343-357 (1994). | MR | Zbl

[Schu] Schultens (J.).— Introduction to 3-Manifolds, Graduate Studies in Math. v. 151, 286 pages, Amer. Math. Soc. (2014). | MR | Zbl

[Sed] Sedgwick (E.), An infinite collection of Heegaard splittings that are equivalent after one stabilization, Math. Ann. 308 p. 65-72 (1992). | MR | Zbl

[SeiT] Seifert (H.) und Threlfall (W.).— Lehrbuch der Topologie, B.G. Teubner Vlg., Leipzig (1934) (später Chelsea)  ; see also English translation by M.A. Goldman, Academic Press (1980). | MR | Zbl

[Si] Singer (J.).— Three dimensional manifolds and their Heegaard diagrams, Trans. Amer. Math. Soc. 35, p. 88-111 (1933). | MR | Zbl

[Sieb1] Siebenmann (L.).— Regular (or canonical ) open neighborhoods, (English) General Topology Appl. 3, p. 51-61 (1973). | MR | Zbl

[Sieb2] Siebenmann (L.).— Les bissections expliquent le théorème de Reidemeister-Singer, un retour aux sources, (prépublication Orsay 1980) disponible à http ://lcs98.free.fr/biblio/   ou   http ://topo.math.u-psud.fr/~lcs/biblio/

[St] Stallings (J.R.).— Lectures on polyhedral topology, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay (1968), mimeographed. | MR | Zbl

[Stz1] Steinitz (H.).— Beiträge zur Analysis situs, Sitzungsber. Berl. Math. Ges. 7, p. 29-49 (1908).

[Stz2] Steinitz (E.).— Polyeder und Raumeinteilungen, Enzyclopedie der Math. Wiss., Bd.III, AB12 (1916).

[Stz3] Steinitz (E.).— Vorlesungen über die Theorie der Polyeder unter Einschluss der Elemente der Topologie – (Aus dem Nachlass herausgegeben und ergänzt von Hans Rademacher), Springer, Grundlagen Bd. 41(1934). | Zbl

[Veb1] Veblen (O.).— Decomposition of an n-space by a polyhedron, Transactions Amer. Math. Soc. 14, p. 65-72 (1913). | MR

[Veb2] Veblen (O.).— Analysis situs, (Colloquium lectures of 1922), Amer. Math. Soc., Colloquium Publications, Vol 5, (1922), (or 2nd edition 1931). | Zbl

[VY] Veblen (O.) and Young (J.W.).— Projective geometry, Vol. II, Ginn, Boston (1918) (reprinted by Blaisdell). | Zbl

[Wa] Waldhausen (F.).— Heegaard Zerlegungen der 3-Sphäre, Topology 7, p. 195-203 (1968). | MR | Zbl

[Wh] Whitehead (J.H.C.).— On C 1 -complexes, Ann. of Math. 41, 804-824 (1940). | Zbl

[Zee] Zeeman (E.C.).— Seminar on combinatorial topology, mimeographed notes, I.H.E.S., Bures-sur-Yvette, France (1963). | Zbl

[Zieg] Ziegler (G.M.).— Lectures on Polytopes, Springer Vlg. GTM 152 (1995). | MR | Zbl

[Zies] Zieschang (H.).— On Heegaard diagrams of 3-manifolds, On the geometry of differentiable manifolds (Rome, 1986), Asterisque 163-164, p. 247-280 (1988). | Numdam | MR | Zbl

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