On functions whose translates are independent
Annales de l'Institut Fourier, Volume 3 (1951), p. 31-72

Ce travail est l’étude de divers cas particuliers d’un problème nouveau, semble-t-il, concernant les translatées de fonctions ou de distributions sur un groupe. Soit E un espace vectoriel topologique de fonctions ou de distributions sur un groupe abélien G localement compact ; E est supposé invariant par les translations af a (x)=f(x+a)(fE,aG). Si fE et si A est un sous-ensemble non vide de G, I(f,A)=I(f,A,E) désigne le sous-espace vectoriel fermé de E engendré par les translatées f a de f avec aA. On dira qu’une fE a ses translatées indépendantes dans E si f a I(f,A) quel que soit l’ensemble fermé A ne contenant pas a.

Sous certaines hypothèses, satisfaites par tous les espaces E usuels, on donne (section 2) des conditions nécessaires et suffisantes très générales pour que f ait ses translatées indépendantes. Ces conditions sont étudiées dans les cas suivants : E=L 2 G, avec G discret (section 3), G=T (section 4), G=R (section 5). Dans les cas G=T ou R on obtient également des renseignements sur E=L 1 G et sur les espaces de distributions. La section 6 concerne l’espace E=CR m des fonctions continues sur R m , muni de la topologie de la convergence compacte. Lorsque G est compact, des conditions suffisantes pour qu’une fL 2 G ait ses translatées indépendantes dans cet espace sont obtenues (section 7) à l’aide d’un théorème de S ˇilov concernant la régularité de certains anneaux normés. Diverses extensions sont signalées dans la section 8, où le problème est relié à des questions d’approximations par polynômes trigonométriques et à la théorie des fonctions définies positives.

Dans presque tous les cas, la méthode utilisée dépend des relations entre l’analyse harmonique et les classes quasi-analytiques de fonctions ; le manque d’informations précises dans cette direction rend difficile une étude détaillée du cas général où G est un groupe quelconque. Si une conclusion générale peut s’énoncer brièvement, c’est la suivante : pour que f ait ses translatées indépendantes, il faut et il suffit que sa transformée de Fourier F (en un sens convenable) ne soit pas “trop petite” à l’infini et ne s’annule pas “trop souvent”. Le sens précis qu’il faut attribuer à ces conditions varie notablement d’un cas à l’autre.

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Edwards, Ralph E. On functions whose translates are independent. Annales de l'Institut Fourier, Volume 3 (1951) pp. 31-72. doi : 10.5802/aif.35. http://www.numdam.org/item/AIF_1951__3__31_0/

[1] N. Wiener, The Fourier integral and certain of its applications, Cambridge, 1933. | JFM 59.0416.01 | Zbl 0006.05401

[2] R. Godement, Théorèmes tauberiens et théorie spéctacle, Annales École Normale Supérieure, 64 (1947). | Numdam | Zbl 0033.37601

[3] I. E. Segal, The group algebra of a locally compact group, Trans. Amer. Math. Soc., vol. 61 (1947). | MR 8,438c | Zbl 0032.02901

[4] H. Pollard, The closure of translations in Lp, Proc. Amer. Math. Soc., vol. (1951). | MR 13,31c | Zbl 0043.32903

[5] A. Beurling, The théorème sur le fonctions bornées et uniformément continues sur l'axe réel, Acta Mathematica; vol 77 (1945). | MR 7,61f | Zbl 0061.13311

[6] L. Schwartz, Théorie générale des fonctions moyenne-périodiques, Annals of Maths., vol. 48 (1947). | MR 9,428c | Zbl 0030.15004

[7] R. E. Edwards, A property of the class of functions regular in the unit circle and a theorem on translations, Journal London Math. Soc. vol. 25 (1950). | MR 11,431a | Zbl 0036.07902

[8] R. E. Edwards, The translations of an function holomorphic in a half-plane and related problems in the real domain, Proc. London Math. Soc., 3 (1) 1951. | Zbl 0042.35801

[9] R. E. Edwards, The translations and affine transforms of special functions, to appear in the Journal London Math. Soc. | Zbl 0046.11803

[10] R. E. Edwards, Derivative and translational bases for periodic functions, to appear in the Proc. Amer. Math. Soc. | Zbl 0043.11401

[11] L. Schwartz, Théorie des distributions, Tomes I and II, Paris, 1950 and 1951. | Zbl 0042.11405

[12] I. Gelfand, Normierte Ringe, Recueil Math. 9 (51), 1941. | JFM 67.0406.02 | MR 3,51f | Zbl 0024.32002

[13] I. Gelfand, Über absolut konvergente trigonometrische Reihen une Integrale, Ibidem. | Zbl 0024.32302

[14] S. Mandelbrojt, Séries de Fourier et classes quasi-analytiques de fonctions, Borel Collection, Paris, 1935. | JFM 61.1117.05 | Zbl 0013.11006

[15] R. E. A. Paley and N. Wiener, Fourier transforms in the complex domain, Amer. Math. Soc. Coll.Pubs. vol. XIX, 1934. | Zbl 0011.01601

[16] G. Silov, On regular normed rings, Travaux de l'Inst. Math. Stekloff, 1947.

[17] R. Godement, Les fonctions de type positif et la théorie des groupes, Trans. Amer. Math. Soc. vol. 63 (1), 1948. | MR 9,327b | Zbl 0031.35903

[18] G. W. Mackey, Functions on locally compact groups, Bull. Amer. Math. Soc. 56 (5), 1950. | MR 12,588d | Zbl 0041.36305